Не получается решить интеграл.

[iGr]

Добрый день!
Не могу сообразить, почему в числителе дроби при решении интеграла получается $n!$.

$$\int\limits_{0}^{1} x^e(1-x)^n dx = \frac{{1}\cdot{2}\cdot{...}\cdot{n}}{(e+1)(e+2)...(e+n+1)}$$

У меня получилось следующее выражение после разложения полинома и интегрировании суммы.

$$C_n^1\cdot\left(\frac{x^{e+1}}{e+1}\right)+C_n^2\cdot\left(\frac{-x^{e+2}}{e+2}\right)+...+C_n^n\cdot\left(\frac{-x^{e+n+1}}{e+n+1}\right) $$

После перемножения не вижу, как получится в числителе факториал $n$.
Буду благодарен за помощь.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[2old]

Почастям и по индукции

[Otta]

А бета-функцию не дают использовать, не?

[ShMaxG]

Обозначьте исходный интеграл как $I(e,n)$ и докажите, что

$$I\left( {e,n} \right) = \frac{n}{{e + 1}}I\left( {e + 1,n - 1} \right).$$