Правила Фейнмана для гравитации

[EvilPhysicist]

Хочу я написать выражения для вершины грав взаимодействия со скаляром, навроде того как это делается в это статье. То есть беру лагранжиан

$$ \sqrt{-g} L =\cfrac{1}{m_p^2} \sqrt{-g}(R-2\lambda)+\sqrt{-g} \left[ g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi -m^2 \phi^+ \phi +a R \lvert\phi\rvert^2 \right] ~, $$

где $\lambda$ -- космологическая постоянная, $\phi$ -- скалярный комплексный дублет. Дальше, берем в качестве фона пространство Минковского и работаем с малыми возмущениями метрики $g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu} + \epsilon h_{\mu\nu} + o(\epsilon^2)$. При этом выражение для кривизны

$$ R= \epsilon \left[ h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu} -\square \operatorname{tr} h \right] ~. $$

Как по нему написать правила для вершины. Тут члены взаимодействия $ g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi+ a R \lvert\phi\rvert^2$. Если я правильно понимаю, они описывают одну и ту же диаграмму

$$\xymatrix{ & h_{\mu\nu} & \\ & \bullet \ar@{<-}[rd]^{\vec q} \ar@{<~}[u]^{\vec k} & \\ s \ar@{->}[ru]^{\vec p} & & \bar{s}\\ }$$

Правильно я понимаю, что выражение для нее выражение $\cfrac{1}{m_p^2} ~\left( p_\mu q_\nu +a ~ k_\mu k_\nu\right)$ ?

[EvilPhysicist]

Не задался разговор. Давайте попробую изложить почему я так думаю.

Сначала, в качестве условий калибровки можно выбрать $h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu}=0$. Это несколько упростит лагранжиан

$$\sqrt{-g} L =- \cfrac{1}{m_p^2} \square \operatorname{tr} h_{\mu\nu}+\sqrt{-g} \left[ h^{\mu\nu} \partial_\mu \phi^+ \partial_\nu \phi -m^2 \phi^+ \phi -a \square \operatorname{tr}h_{\mu\nu} \lvert\phi\rvert^2 \right] ~. $$

Тут два члена взаимодействия $h^{\mu\nu}~ \partial_\mu \phi^+ ~ \partial_\nu \phi$ и $a \square \operatorname{tr}h_{\mu\nu} \lvert\phi\rvert^2$. Это все трехчастичное взаимодействие между двумя скалярами и гравитоном. Ну а дальше надо просто записать выражения для членов взаимодействия в фурье-представлении. Так и получаеются правила Фейнмана для вершин. Или не получаются, не знаю.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #1033637 писал(а):

Не задался разговор.

Я бы кивнул, но не знаю сам.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #1033637 писал(а):

Сначала, в качестве условий калибровки можно выбрать $h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu}=0$

Это нельзя брать в качестве калибровки. У Вас там вторая производная, такая же как и в уравнениях движения. Обычно в гравитации используют калибровку Фока-деДондера $\partial_\mu(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})=0,$ которая в линеаризованном виде имеет вид $\partial_\mu h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^\nu h^\mu_\mu=0.$

EvilPhysicist в сообщении #1032950 писал(а):

$\phi$ -- скалярный комплексный дублет

В смысле дублет? В смысле поле и ему комплексно сопряжённое поле?

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #1034107 писал(а):

Обычно в гравитации используют калибровку Фока-деДондера $\partial_\mu(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})=0,$ которая в линеаризованном виде имеет вид $\partial_\mu h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^\nu h^\mu_\mu=0.$

Окей, возьмем ее. Тогда

$$ R= \epsilon \left[ h_{\mu\nu}^{~~,\mu,\nu} -\square \operatorname{tr} h \right]=-\cfrac12 ~\epsilon ~\square h $$

espe в сообщении #1034107 писал(а):

В смысле дублет? В смысле поле и ему комплексно сопряжённое поле?

Нет, это Хиггсовский дублет из стандартной модели. Дублет по $SU(2)$, сделанный из двух комплексных скаляров по группе Лоренца.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #1032950 писал(а):

Хочу я написать выражения для вершины грав взаимодействия со скаляром

У Вас именно эта цель? Тогда там будет не одна вершина, а бесконечно много. Или Ваша цель вычислить диаграмму, которая нарисована в статье? Или уже это всё не актуально?

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #1035212 писал(а):

У Вас именно эта цель?

Пока что да, я хотел разобраться правильно ли я делаю. Кстати говоря, говорил с одним человеком, который "в теме", говорит -- верно.

espe в сообщении #1035212 писал(а):

Тогда там будет не одна вершина, а бесконечно много.

Почему бесконечно много?

espe в сообщении #1035212 писал(а):

Или Ваша цель вычислить диаграмму, которая нарисована в статье?

Вообще да, но душа просит большего.

[espe]

В "целом" верно. Но на лицо вычислительные ошибки. Если раскладываете на фоне плоской метрики, то никаких $\sqrt{-g}$ не может быть. Всё должно выражаться через $\eta_{\mu\nu}$ и $h_{\mu\nu}.$

-- Чт июл 09, 2015 19:47:31 --

EvilPhysicist в сообщении #1035222 писал(а):

Почему бесконечно много?

Как у Вас определяется $h^{\mu\nu}?$ Если $h_{\mu\nu}:=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu},$ то $g^{\mu\nu}$ это бесконечный ряд по $h_{\mu\nu}.$ И на оборот.

[EvilPhysicist]

В общем, что удалось узнать/понять/прочитать, если кому интересно.

Работают обычно с бездивергентной частью лагранжиана Гильберта:

$$ \sqrt{-g} L_\text{GR}=\sqrt{-g} g^{\mu\nu} (\Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda} \Gamma_{\nu\lambda}^\sigma-\Gama_{\mu\nu}^\sigma \Gamma_{\sigma\lambda}^\lambda) $$

Если брать малые возмущения над пространством Минковского, то из этого лагранжиана получается лагранжиан Фиртза-Паули (Fierz-Pauli)

$$ \cfrac14\left[ 2 h^{\mu\nu,\sigma} h_{\mu\sigma,\nu} - h^{\mu\nu,\sigma} h_{\mu\nu,\sigma} + h_\sigma^{~\sigma,\mu} h^\rho_{~\rho,\mu} - 2 h^{\mu\sigma}_{,\sigma} h^\nu_{\nu,\mu} \right] $$

Правила Фейнмана приводятся, например в данной работе. И для взаимодействия скаляра с гравитоном правило

$$\xymatrix{ & & \\ & \bullet \ar@{~}[r] \ar@{-->}[lu]^{\vec q} & \\ \ar@{-->}[ru]^{\vec p} & & \\ } \begin{matrix}\\ \\ \\ \\ = i ~\cfrac{k}{2} (m^2 \eta_{\mu\nu} +C_{\mu\nu\alpha\beta} p^{\alpha}q^{\beta}) \end{matrix}$$

.

С помощью всего этого можно считать сечения, но они почему-то не совпадают с уже имеющимися результатами, например с этими.