Левоинвариантное векторное поле группы Ли

[Braga]

В определении сказано, что векторное поле $\lambda$ называется левоинвариантным, когда выполняется:

$L_{x^{*}} \circ \lambda = \lambda \circ L_x$. Правильно ли я понимаю, что иными словами это можно записать так:

Пусть $f \in C^{\infty}(G)$, $m \in G$.
Тогда левую сторону можно записать как:
$\lambda (m)(f \circ L_x)(m)=\lambda (m)(f(xm))$, a правую сторону записать как:
$\lambda (L_x (m))(f(m))=\lambda(xm)(f(m))$. Иначе же, векторное поле левоинвариантное, когда выполняется $\lambda (m)(f(xm))=\lambda (xm)(f(m))$ для всех $f$ и $x,m \in G$.
Правильно?

[Oleg Zubelevich]

безотносительно к группам Ли: векторное поле $v$ инвариантно относительно преобразования $x\mapsto y$ по определению если

$$\frac{\partial y^k}{\partial x^i}v^i(x)= v^k(y(x))$$

когда непонятен инвариантный смысл формул надо расписывать в координатах

[Braga]

Извините, но я как-то все ещё не получил ответ на свой вопрос

[Brukvalub]

В определении левоинвариантного векторного поля на группе Ли участвует операция дифференцирования сдвига этого поля.
Braga, где в вашем определении написана эта операция дифференцирования?

[Braga]

В книге Дж. Адамса "Лекции по группам Ли" дано только такое определение, где $L__{x^{*}}$ - отображение, индуцированное левым сдвигом $L_x$. Остальное - точно как написал. Никакого дифференцирования

[Oleg Zubelevich]

а ну раз дифференцирования нет, тогда другое дело

[Brukvalub]

Braga в сообщении #1034001 писал(а):

В книге Дж. Адамса "Лекции по группам Ли" дано только такое определение, где $L__{x^{*}}$ - отображение, индуцированное левым сдвигом $L_x$. Остальное - точно как написал. Никакого дифференцирования

Вы очень странно читаете книги - пропускаете определения символов. Я скачал эту книгу и сразу же на стр. 10 прямо перед пунктом 1.7 нашел определение символа $f_\star$. В правой части этого определения после скобок заметен верхний штришок, так вот, этим штришком в математике обозначают дифференцирование, о чем, кстати, говорится в определении 1.1 на стр. 7. Вот и читайте определение ПРАВИЛЬНО: $(L_x) _\star$
Теперь вы получили ответ на ваш вопрос?

[Braga]

Если расписать в координатах в карте $(U, \varphi)$, то это так будет?

$\lambda_i (m) \frac{\partial (f \circ L_x \circ \varphi^{-1})}{\partial x^i} \mid_m=\lambda_i (xm) \frac{\partial (f \circ \varphi^{-1})}{\partial x^i} \mid_{xm}$