почти периодическое решение ду

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим множество всевозможных конечных тригонометрических полиномов

$$M=\Big\{u(t)=\sum_k a_k e^{i\lambda_k t}\in C_b(\mathbb{R})\mid t,\lambda_k\in\mathbb{R}\Big\}$$

в пространстве $C_b(\mathbb{R})$ -- ограниченных непрерывных функций на $\mathbb{R}$ с нормой $\|f\|=\sup_{t\in \mathbb{R}}|f(t)|.$

Определение. Элементы пространства $B=\overline M$ называются почти периодическими функциями в смысле Бора.

Теперь задача. Пусть $\tilde x(t)\in C^1(\mathbb{R})$ -- решение гладкой системы дифференциальных уравнений

$$\dot x=v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m,\quad \mathrm{div}\,v=0.$$

Доказать, что если это решение ограничено на $\mathbb{R}$ и двусторонне устойчиво по Ляпунову то оно почти периодично.

Замечание. $\mathrm{div}\,v:=\sum_i \frac{\partial v^i}{\partial x^i}.$

[scwec]

Эту теорему, давненько правда, я уже доказывал. Учитывая двустороннюю устойчивость и нулевую дивергенцию строятся инвариантные ограниченные области,
для которых справедлива теорема Пуанкаре о возвращении. С помощью неё доказывается, что $x(t)$ удовлетворяет условиям теоремы Бохнера, откуда все и следует.
Подробностей уже не помню. А текстов не осталось
Но авторы этого результата Хелмс и Путнам доказывали его как-то по другому.
Интересно увидеть более-менее подробное доказательство.

[g______d]

http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1958/7/57051

[Oleg Zubelevich]

Здорово! а я доказывал с помощью теоремы Хинчина. А вот, что можно извлечь из теоремы Бохнера (Демидович, поместивший эту задачу в своем учебнике по теории устойчивости, видимо, это и имел в виду) я не знаю. Было бы интересно увидеть доказательство, основанное на теореме Бохнера.

[scwec]

Честно говоря, имея такое короткое и красивое доказательство авторов из статьи, найденной g______d, не хочется ломать голову, вспоминая ход моего решения 20-летней давности.
Оно точно сложней. Тем более придумывать новое. Теорема Бохнера ведь необходима и достаточна.
Так что авторы в т.ч. доказали достаточно просто и коротко, что $x(t)$ удовлетворяет условию теоремы Бохнера.

[Oleg Zubelevich]

по началу я тоже пробовал доказывать с помощью теоремы Бохнера , но мне все время не хватало равномерной устойчивости. просто интересно, что Демидович хотел сказать

[sup]

Вот сравнительно простое доказательство. Вместо $\tilde x(t)$ я буду использовать обозначение $u(t)$.
Далее через $z(t)$ будем обозначать произвольное решение системы с начальными данными $z(0) = z_0$. В частности $u(0) = u_0$. Это слегка упростит начертание формул.
Выберем произвольное $\varepsilon >0$ и зафиксируем его. Для всех $k$ индуктивно определим $\delta_k$ следующим образом
$\delta_0 = \varepsilon$
А далее в силу условия устойчивости решения $u(t)$ полагаем
$\delta_{k+1} < \delta_{k}/10$ и если $|z_0 - u_0| < \delta_{k+1}$, то $|z(t) - u(t)| < \delta_{k}$ для всех $t$.
Положим $U(0) = \{ x \bigl| |x-u_0| < \delta_3 \}$. А через $U(t)$ обозначим образ этого множества под действием системы (ставим задачу Коши с данными из $U(0)$ и решаем на интервале $[0,t]$). Отмечу, что по условию, меры всех этих множеств одинаковы и равны некой величине $\mu$. Объединение всех этих множеств - $\bar U$. Выберем конечное множество точек $t_k$ так, чтобы

$$ \operatorname{mes} (\bar U) - \operatorname{mes} \bigl ( \bigcup \limits_k U(t_k) \bigr ) < \mu$$

Без потери общности считаем, что среди этих $t_k$ есть и $t = 0$. Если нет - добавим.
Наконец положим $T^* > \max \limits_{i,j} |t_i - t_j|$ таким образом, что $|u(T^*) - u_0| < \delta_3$. Я утверждаю, что на любом интервале вида $(T, T + 2T^*)$ найдется квазипериод функции $u(t)$, согласованный с $\varepsilon$
Ну действительно, по построению $U(T) \bigcap U(t_k) \neq \varnothing$ для некоторого $t_k$. Ибо не покрытое множество имеет малую меру. Это значит, что найдется $z_0 \in U(0)$ такое, что $z(T) \in U(t_k)$, а значит $z(T - t_k) \in U(0)$. Дальше все стандартно. Обозначим $T_1 = T - t_k + T^*$. По построению $T_1 \in (T, T+ 2T^*)$.
Поскольку $z_0 \in U(0)$, то

$$|u(T_1) - z(T_1)| < \delta_{2}$$

Поскольку $z(T - t_k) \in U(0)$, то

$$|z(T_1) - u(T^*)| < \delta_{2}$$

В силу выбора $T^*$ имеем

$$|u(T^*) - u_0| < \delta_3$$

Складываем и получаем

$$|u(T_1) - u_0| < \delta_{1}$$

И, наконец, отсюда следует для всех $t$

$$|u(t + T_1) - u(t)| < \delta_{0} = \varepsilon$$

Вот вроде и все. Надеюсь, не наврал.

[Oleg Zubelevich]

Для применения теоремы Бохнера хотелось бы иметь еще какие-то условия компактности в динамических терминах, не толлько для этой задачи. Мне кажется, что это само по себе не бессмысленно.

Определение. Функция $x(t)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^m)$ называется рекуррентной если для любого $\epsilon>0$ существует $T>0$ такое, что для любого любого $t'$ выполнено неравенство $\rho(x(t'),x([0,T]))<\epsilon.$
Где $\rho$ -- метрика, согласованная с какой-нибудь нормой $\|\cdot\|$ в $\mathbb{R}^m$.
Замечание: всякая функция, рекуррентная в смысле стандартного определения, рекуррентна и в смысле данного определения.

Мы будем использовать пространство $C(\mathbb{R})$ с топологией компактной сходимости (полунормы $\|x\|_{[a,b]}=\max_{t\in[a,b]}\|x(t)\|$);
и пространство $C_b(\mathbb{R})=\{x(t)\in C(\mathbb{R})\mid\|x\|_b=\sup_{t\in\mathbb{R}}\|x(t)\|<\infty\}$.


Определение. Множество $M\subset C(\mathbb{R})$ называется равномерно рекуррентным если для любого $\epsilon>0$ найдутся $T>0,\delta>0$ такие, что
если $x_1,x_2\in M$ и $\|x_1-x_2\|_{[0,T]}< \delta$ то
для любого $t\in\mathbb{R}$ существуют $\tau_i\in[0,T],\quad i=1,2$ такие, что
1) $\|x_i(t)-x_i(\tau_i)\|<\epsilon,$ и
2) $|\tau_1-\tau_2|<\epsilon$.
Перечисленные условия остаются верными если $x_1=x_2$.

Теорема. Если множество $K\subset C_b(\mathbb{R})$ ограничено и равностепенно непрерывно на $\mathbb{R}$ и, кроме того, равномерно рекуррентно то оно относительно компактно.

Доказательство. Зададимся произвольно малым $\epsilon>0$, и подберем по нему соответствующую константу $T>0$.
Теперь рассмотрим произвольную последовательность $x_n\in K$. По теореме Арцела-Асколи, выделим из нее подпоследовательность $x_{n_i}$ равномерно сходящуюся на $[0,T]$:

$$\|x_{n_i}-x_{n_j}\|_{[0,T]}\to 0,\quad i,j\to\infty.$$

Для произвольного $t\in\mathbb{R}$ имеем

$$\|x_{n_i}(t)-x_{n_j}(t)\|\le \|x_{n_i}(t)-x_{n_i}(\tau_i)\|+\|x_{n_j}(t)-x_{n_j}(\tau_j)\|+\|x_{n_j}(\tau_j)-x_{n_j}(\tau_i)\|+\|x_{n_j}(\tau_i)-x_{n_i}(\tau_i)\|.$$

Собственно, ЧТД


ту би контниуд