Ищу результаты по данному вопросу

[DiMath]

Доброго времени суток.
Обозначим $||x||$ - расстояние от x до ближайшего простого числа. Рассмотрим полином, достаточно хороший, чтобы следующее утверждение имело смысл:

$$\exists C=C_{f} \, , {\exists \left\lbrace x_i\right\rbrace}_{i=1}^{\infty}\subset\mathbb{N}: ||f(x_i)||\leqslant C \, \forall i$$

Встречал ли кто-нибудь работы и результаты, близкие к этому?
Спасибо.

[Brukvalub]

Подойдет полином $p(x)=x$ и последовательность перенумерованных в порядке возрастания простых чисел. Константу $C$ определите самостоятельно.

[DiMath]

Brukvalub Смешно. В линейных формах всё понятно. Речь о многочленах, степени выше первой.

[AlexDem]

DiMath в сообщении #1032695 писал(а):

полином, достаточно хороший

Хороший в каком смысле?

DiMath в сообщении #1032695 писал(а):

утверждение имело смысл

Утверждение не сформулировано, поскольку не определены $C_f$ и $f$, и записано некорректно. $\exists C = C_f$ - тавтология, ${\exists \left\lbrace x_i\right\rbrace}_{i=1}^{\infty}\subset\mathbb{N}$ - тавтология (это тот же $\mathbb N$), $\forall i$ должно стоять перед $||f(x_i)||\leqslant C$, где и все кванторы.

[grizzly]

DiMath
Если я правильно угадал суть Вашего вопроса, то: если бы такого полинома не существовало, это означало бы (отрицательное) решение гипотезы Буняковского. Поэтому таких полиномов (для любой степени) скорее всего очень много, но науке ни один пока (для степени не меньше 2) не известен.

[DiMath]

AlexDem в сообщении #1032706 писал(а):

$\exists C = C_f$ - тавтология.

Легкой тавтологией я хотел показать, что константа зависит от полинома.

AlexDem в сообщении #1032706 писал(а):

${\exists \left\lbrace x_i\right\rbrace}_{i=1}^{\infty}\subset\mathbb{N}$ - тавтология (это тот же $\mathbb N$)

Я рассматриваю некоторый набор натуральных точек, не обязательно совпадающий с $\mathbb{N}$.

По последнему - согласен.

grizzly Мне кажется, Вы не совсем правильно поняли мою мысль. Я предполагаю, что у каждого полинома есть минимальная константа, такая, что значения полинома в точках набора находятся от ближайшего простого не дальше её.
Судя по всему, работ на эту тему никто не встречал.
Всем спасибо!

[grizzly]

DiMath в сообщении #1032738 писал(а):

Я предполагаю, что у каждого полинома есть минимальная константа, такая, что значения полинома в точках набора находятся от ближайшего простого не дальше её.

Если я всё-таки правильно Вас понял, то Ваша гипотеза для константы $C=0$ есть почти в точности гипотеза Буняковского. То есть, Ваша гипотеза просто сколько-то слабее. (Ну и допускает в принципе рассмотрение приводимых полиномов и полиномов, имеющих общий множитель для всех значений).
Поэтому я думаю, что прежде всего Вам следует поинтересоваться в этом направлении -- наверняка исследования там ведутся (да, я работ не встречал и искать для Вас не буду ).

[DiMath]

grizzly Да, при С=0 конечно. Но вот, например, многочлен $x^2+3x+2$ вообще не принимает простых значений на $\mathbb{N}$, однако искомая константа наверняка существует для некоторого набора.

Искать и не нужно, спасибо

[Sonic86]

DiMath в сообщении #1032747 писал(а):

Но вот, например, многочлен $x^2+3x+2$ вообще не принимает простых значений на $\mathbb{N}$, однако искомая константа наверняка существует для некоторого набора.

Отсюда можно вытащить такую задачу:
Пусть $f(x)$ - многочлен. Существует ли константа $D$ такая, что $f(x)+D$ неприводим? Если существует, то $C\leqslant D$.
При $\deg f=2$ константа, очевидно, существует, так что исходное утверждение следует из гипотезы Буняковского.
Для утверждения ТС можно брать $f(x)=x^n$, для него константа $D$, а значит и $C$, очевидно, существует при условии истинности гипотезы Буняковского.

[DiMath]

Sonic86 Не резонно использовать открытые проблемы. Идея как раз заключалась в том, чтобы подойти к гипотезе по ближе, доказав, хотя бы, что $C$ конечна. А затем, ввести "меру" $\mu (f) = \inf\limits_{{\left\lbrace x_i \right\rbrace}_{i=1}^{\infty}\subset\mathbb{N}}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{||f(x_i)||}{f(x_i)}$ и исследовать её.

[Sonic86]

(DiMath)

А я Вам и не предлагал использовать открытые проблемы как способ доказательства.