2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Собственные значения и векторы линейного преобразования
Сообщение30.06.2015, 17:20 


27/10/12
7
Здравствуйте! Самостоятельно изучая основы линейной алгебры, дошёл до темы про линейные отображения и остановился на такой задаче:
Линейное пространство $L$ является линейной оболочкой функций $\sin x$ и $\cos x$. Линейное преобразование $A:L \rightarrow L$ таково, что $$A(\sin{x})=\cos (x-\frac{\pi}{6}), \ A(\cos{x})=\sin (x+\frac{\pi}{6})$$
Необходимо найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования $A$.
Если бы преобразование было непосредственно задано матрицей, то задача заключалось бы в решении характеристического уравнения для данного преобразования. Но как составить матрицу в текущей ситуации? Очевидно, что если задан базис в $L$, то можно записать матрицу преобразования при помощи координат образов базисных векторов и дальше действовать по алгоритму, но непонятно, как поступить сейчас. Прошу вас помочь мне разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы линейного преобразования
Сообщение30.06.2015, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Про синус суммы слышали, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы линейного преобразования
Сообщение30.06.2015, 18:00 


27/10/12
7
Да, конечно. Распишем $A(\sin{x})=\cos (x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt 3}{2}\cos x$ и $A(\cos{x})=\sin (x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt 3}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$. Пусть координаты элемента $\mu \sin x + \lambda \cos x$ из $L$ расположены в следующем порядке $(\mu, \lambda)$. Тогда записывая условия для $A(\sin{x})$ и $A(\cos{x})$ в матричной форме, получим $$A \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right), \ A \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)$$, соответственно. Отсюда находим $A = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$, а как вычислять собственные значения и собственные векторы по матрице преобразования известно. То, что я написал, вообще правильно? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы линейного преобразования
Сообщение30.06.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Ваще точняк, пацаны балдеют! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group