Собственные значения и векторы линейного преобразования

[Asatnin]

Здравствуйте! Самостоятельно изучая основы линейной алгебры, дошёл до темы про линейные отображения и остановился на такой задаче:
Линейное пространство $L$ является линейной оболочкой функций $\sin x$ и $\cos x$. Линейное преобразование $A:L \rightarrow L$ таково, что

$$A(\sin{x})=\cos (x-\frac{\pi}{6}), \ A(\cos{x})=\sin (x+\frac{\pi}{6})$$

Необходимо найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования $A$.
Если бы преобразование было непосредственно задано матрицей, то задача заключалось бы в решении характеристического уравнения для данного преобразования. Но как составить матрицу в текущей ситуации? Очевидно, что если задан базис в $L$, то можно записать матрицу преобразования при помощи координат образов базисных векторов и дальше действовать по алгоритму, но непонятно, как поступить сейчас. Прошу вас помочь мне разобраться.

[ИСН]

Про синус суммы слышали, например?

[Asatnin]

Да, конечно. Распишем $A(\sin{x})=\cos (x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt 3}{2}\cos x$ и $A(\cos{x})=\sin (x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt 3}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$. Пусть координаты элемента $\mu \sin x + \lambda \cos x$ из $L$ расположены в следующем порядке $(\mu, \lambda)$. Тогда записывая условия для $A(\sin{x})$ и $A(\cos{x})$ в матричной форме, получим

$$A \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right), \ A \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

, соответственно. Отсюда находим $A = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$, а как вычислять собственные значения и собственные векторы по матрице преобразования известно. То, что я написал, вообще правильно?

[Brukvalub]

Ваще точняк, пацаны балдеют!