Простые числа близнецы (теорема)

[Ilya G]

Формулировка:
Если $p_m$ и $p_m_+_1$ простые числа и выполняется хотя бы одно из условий $(1-3)$:

$1)\sum_{n=1}^{m}(p_n_+_1-p_n)=p_m$

$2)\prod_{n=2}^{m}(p_n_+_1-p_n)/(p_n-p_n_-_1)=2$

$ 3)\sum_{n=1}^{m}(p_n_+_1-p_n)+\prod_{n=2}^{m}(p_n_+_1-p_n)/(p_n-p_n_-_1)=p_m_+_1$

то $p_m$ и $p_m_+_1$ простые числа близнецы.

Доказательство:
$p_m_+_1-p_m=2 $ (по определению)

Тогда:

$1)\sum_{n=1}^{m}(p_n_+_1-p_n)=p_m_+_1-2=p_m\Rightarrow p_m_+_1-p_m=2$


$2)\prod_{n=2}^{m}(p_n_+_1-p_n)/(p_n-p_n_-_1)=p_m_+_1-p_m=2$


$3)\sum_{n=1}^{m}(p_n_+_1-p_n)+\prod_{n=2}^{m}(p_n_+_1-p_n)/(p_n-p_n_-_1)= 2p_m_+_1-p_m-2\Rightarrow
$\Rightarrow p_m_+_1-p_m=2$

[Xaositect]

Горшочек, не вари.

[Brukvalub]

Добавлю не менее тонкое, тоже ускользнувшее от исследователей, наблюдение о простых числах-близнецах!
Если $p_m$ и $p_m_+_1$ простые числа и выполняется условие $p_m_+_1=p_m +1+1$ , то эти числа - простые числа-близнецы. Доказательство: так как $1+1=2$, то
$p_m_+_1=p_m +1+1=p_m +2$, что и требовалось доказать!
Побежал за премией Абеля, получу - вернусь...

[Lia]

Тема закрыта в силу отсутствия предмета дискуссии.