Частное и общее решение диф. уравнения

[vilza]

Приветсвую всех.

Задача: Показать, что одним из решение диф. уравнения: x`+k*x=k*q(t), t принадлежит [0;

$$\infty$$

], k=const, является функция

$$k \int\limits_0^\infty {q(t-s) e ^{-ks}} ds$$

Общее решение:

$$k e ^{-kt} \int\limits_0^\infty {q(t) e ^{kt}} dt + C e ^{-kt}$$

, С=const принадлежащая всеё числовой оси.

(?) - как сравнить частное и общее решение?

[ИСН]

1. Как показать? - подставить в формулу и проверить, что подходит.
2. Дальше не читал. Напишите формулы по-человечески.

[vilza]

функция q(t)-неизвестна.
Общее решение:

k e ^{-kt} \int {q(t) e ^{kt}} dt + C e ^{-kt}
t\in[0;\infty]

Частное решение

$$k \int\limits_0^\infty {q(t-s) e ^{-ks}} ds$$

[Brukvalub]

И рад бы помочь, но нет сил разбираться в Ваших каракулях

[RIP]

vilza
Попробуйте для начала прочитать http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=183 и привести Ваши формулы в более-менее читабельный вид, иначе очень скоро Ваша тема окажется в карантине.

По поводу задачи. Во-первых, надо расставить пределы интегрирования в первом интеграле (иначе получится функция от переменных $t$ и $s$, если рассматривать интеграл как неопределённый). Рискну предположить, что частное решение имеет вид
$x=k \int_{0}^{t} q(t-s) e^{-ks}ds$.
Сделайте в нём замену переменной $s \to t-s$ и сравнивайте с общим решением, которое должно иметь вид, например, такой
$x=k e^{-kt}\cdot\int q(t)e^{kt}dt+Ce^{-kt}$ (здесь стоит неопределённый интеграл), но лучше воспользоваться тем, как связаны определённый и неопределённый интегралы, и записать общее решение, например, в таком виде
$x=k e^{-kt} \int_{0}^{t} q(s)e^{ks}ds+Ce^{-kt}$
(естественно, предполагается, что функция $q$ "достаточно хорошая" ).

[vilza]

Спасибо, я исправил.
Ошибочка вышла, опять исправил.

[RIP]

Пределы интегрирования у Вас неправильные (сравните с моими). Конечно, кое-какой произвол в них допускается, но интегрирование от $0$ до $\infty$ здесь явно не в кассу.