Выделение периодичности в экспериментальном числовом ряде

[alex55555]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться.

Интересуюсь проблемой построения синусоид на основе числового ряда, максимально отражающих суть явления. В качестве примера приведу частный случай с рядом содержащим две синусоиды различной амплитуды, но с одинаковым периодом. Ряд, как и большинство экспериментальных рядов, содержит много шума, но даже на глаз эти самые две базовые синусоиды вполне наблюдаемы. Эти две синусоиды в общем-то и отражают суть явления (колебания двух связанных масс), поэтому хотелось бы выделить именно их и в максимально отражающем суть явления виде. Стандартный подход на базе преобразования Фурье даёт набор синусоид, сильно зависящий от выбранной длинны окна, на котором строится ряд. Поскольку частота заранее неизвестна, а так же может меняться в ходе исследуемого процесса, выбор длинны окна представляется нетривиальным. Если же окно выбрано неудачно, то частота и амплитуда наиболее выраженной синусоиды будут сильно отличаться от искомой общей частоты и двух амплитуд. Но даже при точном совпадении окна и периода колебаний базового процесса, наличие двух синусоид сбивает ряд Фурье в сторону от искомого идеала.

В свете показаных выше недостатков преобразования Фурье ищу какой-либо другой способ выделения периодичности в экспериментальном ряде. Обратил внимание на метода SSA-Гусеница, который так же обещает выделение периодики. Но до глубины математической сути этого метода не докопал (пока), поэтому непонятно - не повторится ли история с рядом Фурье, когда параметры результирующего набора синусоид сильно зависят от неизвестных параметров, что сводит точность (а следовательно и полезность) определения частот к минимуму.

Возможно так же существуют и другие методы выделения периодичности в процессе. Если подскажете как они называются - буду благодарен и покопаю в указанных направлениях. Но хотелось бы получить подсказку с учётом выше показанной зависимости результата от неизвестных параметров (точнее, хотелось бы иметь независимый от неизвестных параметров анализ).

Надеюсь на полезные советы, за которые готов быть безмерно благодарен :)

[Korvin]

alex55555 в сообщении #1031773 писал(а):

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться.

Интересуюсь проблемой построения синусоид на основе числового ряда, максимально отражающих суть явления. В качестве примера приведу частный случай с рядом содержащим две синусоиды различной амплитуды, но с одинаковым периодом. Ряд, как и большинство экспериментальных рядов, содержит много шума, но даже на глаз эти самые две базовые синусоиды вполне наблюдаемы. ...

Немножко непонятно. Ряд - один, как в нем могут присутствовать и различаться на глаз две синусоиды одинакового периода разной амплитуды? Синусоида ведь будет всего одна, суммарная, как пишете зашумленная. И тогда окно с шириной периода выявит синусоиду с максимальной амплитудой основной гармоники. А остальные гармоники, если колебания вполне синусоидальные, будут лишь следствием шума.
Или ряда таки два?

[alex55555]

Korvin в сообщении #1031780 писал(а):

Немножко непонятно. Ряд - один, как в нем могут присутствовать и различаться на глаз две синусоиды одинакового периода разной амплитуды?

Да, возможно не совсем очевидная ситуация. Представьте себе одну синусоиду, а потом умножьте каждый нечётный положительный горб на некий коэффициент. То есть имеет место чередование амплитуды импульсов в системе, это связано с местом крепления датчика, который висит ближе к одной из масс и на её движения реагирует активнее. Более точно наверное будет говорить даже о двух чередующихся различных по амплитуде периодах, хотя на глаз явно выделяется именно каждая вторая положительная часть синусоиды (хотя можно и отрицательную рассматривать если удобно, ибо сути не меняет).

Korvin в сообщении #1031780 писал(а):

И тогда окно с шириной периода выявит синусоиду с максимальной амплитудой основной гармоники.

Проблема как раз в определении этой самой ширины периода. Она переменная, движение системы возможно с различной скоростью. Хотя известны примерные границы, но они весьма расплывчаты - от "где-то в районе нуля" до некой заведомо большей максимальной скорости (что-бы все возможные отклонения уложились).

[Евгений Машеров]

А преобразование Гильберта не спасёт гиганта мысли? Или преобразование Гильберта-Хуанга?
Да, и сумма двух синусоид равного периода это синсоида того же периода. Только фаза сдвинется. Если каждый второй зубец усилен - это либо сумма синусоид данного и удвоенного периода, либо синусоида, модулированная другой синусоидой.

[alex55555]

Евгений Машеров в сообщении #1031790 писал(а):

А преобразование Гильберта не спасёт гиганта мысли? Или преобразование Гильберта-Хуанга?

Про преобразование Гильберта в википедии пишут, что оно связано с преобразованием Фурье так - "Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области", то есть сдвигает спектр того же самого Фурье, с которого мы начали. А вот Гильберт — Хуанг вроде похоже на что-то интересное. Пишут, мол "эмпирические моды вычисляются в ходе процесса", что обнадёживает. Но надо попробовать на реальных данных. Буду посмотреть в эту сторону.

[Евгений Машеров]

Гильберт превращает синус в минус косинус, а косинус в синус. Чем-то похоже на действие дифференцирования, но не появляется множитель, зависящий от частоты. Фазовращатель. Хотя исходно преобразование вводилось без использования Фурье
$H(u)(t) = \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty}u(\tau) h(t-\tau)\, d\tau = \frac{1}{\pi} \ \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(\tau)}{t-\tau}\, d\tau$
Основная его польза здесь, ИМХО, может быть связана с понятием "аналитического сигнала", когда к сигналу прибавляют, умножив на мнимую единицу, результат преобразования Гильберта, и результат представляют в виде огибающей и осциллятора в комплексной области, из чего получают зависящую от времени амплитуду и переменную во времени частоту.
$f(t)+iH[f(t)]=A(t)e^{i\varphi(t)}$Это полезно, например, при обработке сигналов с амплитудно-фазовой модуляцией.
Однако если сигнал не узкополосный модулированный, то преобразование Гильберта от него посчитать можно, а значить оно ничего не значит (прежде всего оттого, что фазовый угол меняется не плавно, сообразно частоте, а прыгает совершенно дико, да и амплитуда гуляет). И вот на этот предмет Хуанг придумал эмпирический приём разделять сигнал на сумму "эмпирических мод", и уж к каждой прилагать преобразование Гильберта.

[Geen]

alex55555 в сообщении #1031781 писал(а):

То есть имеет место чередование амплитуды импульсов в системе

Так "импульсы" или "синусоида"? Вам известна теоретически форма сигнала?

[alex55555]

Евгений Машеров в сообщении #1031878 писал(а):

Основная его польза здесь, ИМХО, может быть связана с понятием "аналитического сигнала", когда к сигналу прибавляют, умножив на мнимую единицу, результат преобразования Гильберта, и результат представляют в виде огибающей и осциллятора в комплексной области, из чего получают зависящую от времени амплитуду и переменную во времени частоту.

Меня прельстила простота способа разделения сигнала на моды, поэтому попробую именно такую простую обработку. Её результат ожидается в виде ряда с колебаниями около нуля (как среднего значения) без паразитных пересечений нуля шумами, то есть такой вид позволяет элементарно определить частоту посчитав количество пересечений нуля в единицу времени. Остаётся неясным вопрос точности определения амплитуды, но простота обработки говорит о возможности уже завтра на конкретных данных увидеть эту самую точность.

А преобразование Гильберта, как я (возможно неправильно) понял после поверхностного чтения, даёт возможность получить амплитуду и частоту от времени. По сравнению с Фурье, выдающим просто набор частот, это очень даже интересно, позволяет без эмпирических заморочек вычислять текущую частоту и амплитуду в любой момент времени. Но если можно эту самую частоту посчитать по количеству пересечений нуля, то видимо глубже копать Гильберта смысла нет.

Geen в сообщении #1031903 писал(а):

Так "импульсы" или "синусоида"? Вам известна теоретически форма сигнала?

Практически интересна именно синусоида. Теоретически (и практически конечно тоже) сигнал представлен суммой синусоид, которая является следствием приличного количества степеней свободы системы, но в этом наборе степеней всегда есть строго одна единственная главная, её можно представить синусоидой с частотой пропорциональной текущей скорости системы. Амплитуда при этом характеризует нагрузку на систему. Технически частоту желательно определять с хорошей точностью, а амплитуду можно просто оценивать с погрешностью даже в десятки процентов, ведь на остальные "вихляния" системы всё равно уходит немало энергии и выделять что там точно ушло на основную частоту, а что на остальные, практически нецелесообразно.

[Geen]

alex55555 в сообщении #1031967 писал(а):

Практически интересна именно синусоида.

alex55555 в сообщении #1031773 писал(а):

максимально отражающих суть явления.

Вы, всё-таки, определитель что именно важно...
Любой периодический сигнал представим суммой синусоид, но это не означает, что физически осмысленно и математически правильно будет всё "в спектр раскладывать".