Сопряженный оператор к d

[quantum newbie]

Добрый день, от меня снова поступает нубский вопрос.

Я привык, что $\frac{d}{dx}$ и $\frac{d}{dp}$ (если какой-то из них имеет смысл) можно перебрасывать через чёрточку в бра-кет нотации:

$$\langle \varphi | \partial \psi \rangle = \langle \varphi | \partial | \psi \rangle = \langle \partial \varphi | \psi \rangle$$

Но вот проблема: в доказательстве факта самосопряженности обычно полагается, что на бесконечности функции зануляются. А что делать, если это не так?
Вот, скажем, в кристаллах собственные оператору трансляции состояния не угасают ни в прямом, ни в обратном пространстве. Что, производные не будут эрмитовыми операторами?

[amon]

Начнем с того, что $\langle \varphi | \partial \psi \rangle = - \langle \partial \varphi | \psi \rangle$

[quantum newbie]

отбросил коэффициенты $i$ и $\hbar$ — мелкая деталь, не меняющая вопрос: при наличии трансляционной симметрии как операторы такого вида сопрягаются?
впрочем, спасибо за замечание

[ewert]

quantum newbie в сообщении #1031626 писал(а):

в доказательстве факта самосопряженности обычно полагается, что на бесконечности функции зануляются.

Во-первых, не предполагается. Во-вторых, доказывается симметричность оператора на функциях, которые воистину зануляются; а потом доказывается, что такой оператор замыкаем и что его замыкание воистину самосопряжено.

(ну и знак тоже, естественно)

Да, и ещё в-третьих: последний пункт физики обычно просто гордо опускают. У них так принято, и винить их в этом трудно.

[quantum newbie]

ewert в сообщении #1031641 писал(а):

quantum newbie в сообщении #1031626 писал(а):

в доказательстве факта самосопряженности обычно полагается, что на бесконечности функции зануляются.

Во-первых, не предполагается.

В своё оправдание скажу, что я открыл первые три учебника или пособия по КМ и взял условие оттуда. Оно, впрочем, и понятно: там появляется $\left.\varphi\psi\right|_{-\infty}^\infty$, который хочется занулить.

ewert в сообщении #1031641 писал(а):

Во-вторых, доказывается симметричность оператора на функциях, которые воистину зануляются; а потом доказывается, что такой оператор замыкаем и что его замыкание воистину самосопряжено.

Выделенное — это глагол или причастие? И о замыкании в каком смысле мы говорим?

ewert в сообщении #1031641 писал(а):

Да, и ещё в-третьих: последний пункт физики обычно просто гордо опускают. У них так принято, и винить их в этом трудно.

Да кто ж их поймёт, этих физиков, кроме них же: в одних случаях игнорируют область применимости теорем, в других кричит «оло-ло, тут же особенность, в ней же сама физика какого-то явления сидит!».

[ewert]

quantum newbie в сообщении #1031649 писал(а):

Выделенное — это глагол или причастие? И о замыкании в каком смысле мы говорим?

Выделенное -- ни то, ни другое, а скорее прилагательное. Впрочем, формальные правила русскаго языка я давно уж подзабыл; если что напутал -- прошу простить мою безграмотность.

А о замыкании мы говорим в смысле теории операторов. Которую физики частенько игнорируют; спасает же их то, что обычно у них развита математическая интуиция.

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #1031626 писал(а):

Но вот проблема: в доказательстве факта самосопряженности обычно полагается, что на бесконечности функции зануляются. А что делать, если это не так?
Вот, скажем, в кристаллах собственные оператору трансляции состояния не угасают ни в прямом, ни в обратном пространстве. Что, производные не будут эрмитовыми операторами?

Почитайте второй том Рида и Саймона. Да, самосопряженность имеет место не при любых граничных условиях. Причем при разных гранусловиях получаются разные операторы. Оператор же определяется не только тем как он действует, но и множеством функций, на которых он действует. Там целая теория индексов дефекта, придуманная знаменитым фон Нейманом. Вообще с точки зрения математики это вопрос довольно тонкий.

-- Вс июн 28, 2015 02:24:13 --

quantum newbie в сообщении #1031649 писал(а):

Да кто ж их поймёт, этих физиков, кроме них же: в одних случаях игнорируют область применимости теорем, в других кричит «оло-ло, тут же особенность, в ней же сама физика какого-то явления сидит!».

Да, физика и математика -- совершенно разные науки. Не нужно обманываться, видя одинаковые "закорючки". "Закорючки" одинаковые, а смысл у них разный

[ewert]

[quote="Alex-Yu в сообщении #1031681"]Да, физика и математика -- совершенно разные науки. Не нужно обманываться, видя одинаковые "закорючки". "Закорючки" одинаковые, а смысл у них разный

Не так: смысл у них примерно одинаков, но на различных уровнях строгости.

[Munin]

ewert
Когда вы случайно заходите в раздел форума "Физика", слушайте физиков.

[g______d]

quantum newbie в сообщении #1031626 писал(а):

Вот, скажем, в кристаллах собственные оператору трансляции состояния не угасают ни в прямом, ни в обратном пространстве. Что, производные не будут эрмитовыми операторами?

Тот оператор $\partial$, который является эрмитовым, на эти неугасающие "собственные функции" просто не действует. Он определён на некотором подмножестве функций из $L^2$, а указанные функции не лежат в $L^2$; поэтому, собственно, это и не настоящие собственные функции, а обобщённые, и спектр не точечный, а (абсолютно) непрерывный.

Если хочется всё-таки какой-то самосопряжённый оператор, который будет действовать именно на такие, неубывающие, функции, нужно сделать преобразование Флоке и рассмотреть оператор при фиксированном квазиимпульсе. Он будет действовать на периодические функции (или квазипериодические, в зависимости от того, как определять преобразование Флоке), т. е. фактически будет оператором на торе, и спектр у него будет дискретным. Но после интегрирования по квазиимпульсу дискретный спектр заинтегрируется в непрерывный.

-- Сб, 27 июн 2015 13:13:16 --

См. Рид, Саймон, том 4, глава 16.

[ewert]

Munin в сообщении #1031695 писал(а):

Когда вы случайно заходите в раздел форума "Физика", слушайте физиков.

Я их слушаю. Худо, что некоторые из них не всегда слушают математиков. Но если это пропустить -- то и никаких проблем.

-- Вс июн 28, 2015 00:40:00 --

g______d в сообщении #1031700 писал(а):

нужно сделать преобразование Флоке

Не нужно. Флоке тут ни разу не при чём (раз речь о тупо операторе импульса), он заточен на совсем другие задачи.

[Munin]

ewert в сообщении #1031705 писал(а):

Но если это пропустить

Это как раз и значит, что не слушаете.

[g______d]

ewert в сообщении #1031705 писал(а):

Флоке тут ни разу не при чём (раз речь о тупо операторе импульса)

В корневом посте про собственные функции оператора трансляции в кристаллах шла речь, и, очевидно, имелись в виду блоховские решения.