Ослабить две нормы

[AGu]

Пусть $B_1$ — шар первой нормы. Вспомнив о существовании всюду плотного базиса Гамеля, немедленно находим такую вторую норму, что ее шар $B_2$ всюду плотен по первой норме, и замечаем, что выпуклая оболочка $B_1\cup B_2$ равна всему пространству. Действительно, для любого $x$ подбираем $x_2\in B_2$ так, чтобы $x_1:=2x-x_2\in B_1$, и видим, что $x=\frac12x_1+\frac12x_2$ принадлежит выпуклой оболочке $B_1\cup B_2$.

P.S. Доказательство существования всюду плотного базиса Гамеля есть, например, в топике «Does there exist a linearly independent and dense subset?» на StackExchange.