Диффгео - Задача из Погорелова

[Capella]

Стала тут смотреть задачку из Погорелова, стр. 87, задача 1 и несовсем врубилась, как он там в одном месте задаёт уравнение поверхности.
Условие: Составить уравнение поверхности, образуемой полупрямыми, которые исходят из точки $ a, b, c, $ и пересекают параболу $ z = 0, y^2 = 2px $.
Ответ: $ (bz - cy)^2 = 2p (z - c) (az - cx) $
Ответ вызвал у меня определённые недоумения. Выражение в скобках отдалённо напоминвает векторный продукт двух векторов: $ (a,b,c),(x,y,z) $. Собственно вопрос: откуда взялось в правой части $ (z -c) $?

[Capella]

Вот что мне ещё не нравится: поверхность выраженна через 3 независимые, как-бы так сделать, чтобы выразить её следующим образом: $ X(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) $. Т.е. идея потом считать её квадратичные формы.. Я полагаю, что она везде (кроме точки $ a,b,c,), гладкая, поэтому мне хотелось бы ещё при случае вектор нормали посчитать.. Я пробовала следующую идею, может быть опустить высоту из точки и выразить координаты углом между ней и лучами?

[незваный гость]

На первый взгляд, все нормально. И ответ у меня совпал.

Я пользовался простой идеей. Пусть $(x,y,z)$ принадлежит поверхности. Можно написать уравнение прямой, проходящей через две точки. Тогда можно найти точку пересечения этой прямой с плоскостью $z = 0$. Подставляем ее координаты в уравнения параболы и идем дружно пить шампань.

P.S. $(z-c)$ -- из неоднородности уравнения параболы. Была бы кубическая парабола, был бы $(z-c)^2$.

[Capella]

Спасибо, но тогда у нас получается уравнение прямой, а если я хочу рассмотреть эту фигуру как поверхность и например найти тангенциальную плоскость в какой-либо точке, как это сделать? Насколько я знаю, для этого нужно параметризировать саму поверхность

[Capella]

Короче, может я плохо выразилась, но имела ввиду следующее: как известно вектор нормали задан вот так: $ N = \frac {X_u \wedge X_v} {|X_u \wedge X_v|} $, т.е. мне надо свести к 2 переменным, но никак не 3 (или выразить 3-ю через первые 2).
Спасибо за PS
В общем и целом надо похоже разложить на $ z $уравнение плоскости и это и будет параметризация. Большое спасибо Незванный гость!

[незваный гость]

Почему прямой? У нас трехмерное множество точек с одним ограничением -- вполне многообразное.

[незваный гость]

Если хочется выразить через дре координаты, выразите $x=X(y,z)$. Эта функция еще и рациональна, для пущего удобства обращения.

[Someone]

Capella писал(а):

... и найти тангенциальную плоскость в какой-либо точке, как это сделать? Насколько я знаю, для этого нужно параметризировать саму поверхность

Записываем уравнение поверхности в виде $F(x,y,z)=0$. Если $(x_0,y_0,z_0)$ - точка поверхности, то есть, $F(x_0,y_0,z_0)=0$, то, как известно, вектор

$$\mathrm{grad}F(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}\vec{\imath}+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}\vec{\jmath}+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}\vec k$$

ортогонален поверхности. Поэтому требуемое уравнение касательной плоскости можно написать в виде

$$\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0$$

.

[Capella]

Спасибо, это действительно самый лучший вариант! А я хотела-то параметризировать...