2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 10:45 


28/05/12
69
Рассмотрим отображение $f:\matbb{R}^3\to \matbb{R}^2$ :

$f(x,y,z)=(x-2y,y+3z)$

Найдите ядро отображения, образ линейного оператора, матрицу линейного оператора, классицифицируйте отображение.

Я так понимаю, что матрица линейного оператора будет такая:

$A=\begin{pmatrix}
 1&  -2& 0\\
 0& 1 &3 \\
\end{pmatrix}$

Найдем ядро:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x-2y&=& 0\\
 y+3z&=&0 \\
\end{array}
\right.$

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x&=& -6C\\
 y&=&-3C \\
z&=&C
\end{array}
\right.$

$\operatorname{Ker}f=C\begin{pmatrix}
-6\\
-3\\
1\\
\end{pmatrix}$

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}
x-2y\\
y+3z\\
\end{pmatrix}$

Насчет образа сомневаюсь, что верно. А что значит классифицировать отображение? (написать, что оно линейное и непрерывное? Как это можно доказать?) Верны ли рассуждения?

Верно? Но как найти образ?

-- 24.06.2015, 11:13 --

Еще по одной задаче есть вопросы:

В пространстве $\mathbb{R}^3$ канонический базис $B=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\
 f(\vec{e_2}-\vec{e_3})&=&-\vec{e_2} \\
f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\
\end{array}
\right.$$

1) Определите матрицу $A$ отображения $f$, которая соответствует базису $B=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$
2) Определите матрицу $A'$ отображения $f$, которая соответствует базису $B'=\{\vec{e_1}+2\vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_2}-\vec{e_3}\}$$

Тут сразу вопрос по $f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}$. Как можно было подействовать на вектор $(1,2,0)$, чтобы получить вектор $(1,0,3)$. Разве это возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 12:32 
Заслуженный участник


23/07/08
9162
Харьков
belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):
$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}x-2y\\y+3z\end{pmatrix}$
Насчет образа сомневаюсь, что верно.
Это верно в том смысле, что образ оператора $f$ — это множество векторов $\mathbb R^2$, представимых в таком виде. Но результат надо представить не в таком виде.

Образ линейного оператора $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ — это некоторое подпространство $\mathbb R^2$. А какое именно? Если оно совпадает с $\mathbb R^2$ или $\{0\}$, так и надо сказать (и обосновать). Если нет — найдите его базис и задайте его этим базисом. В любом случае, никакого воспоминания об $\mathbb R^3$ (т.е. о $x,y,z$) остаться уже не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):
Тут сразу вопрос по $f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}$. Как можно было подействовать на вектор $(1,2,0)$, чтобы получить вектор $(1,0,3)$. Разве это возможно?

Какой-то безумный вопрос! Выше же ЯСНО НАПИСАНО, как нужно было подействовать... Какой еще ответ автор ТАКОГО вопроса ожидает на свой вопрос??? :shock: :shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 17:42 


28/05/12
69
svv в сообщении #1030322 писал(а):
belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):
$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}x-2y\\y+3z\end{pmatrix}$
Насчет образа сомневаюсь, что верно.
Это верно в том смысле, что образ оператора $f$ — это множество векторов $\mathbb R^2$, представимых в таком виде. Но результат надо представить не в таком виде.

Образ линейного оператора $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ — это некоторое подпространство $\mathbb R^2$. А какое именно? Если оно совпадает с $\mathbb R^2$ или $\{0\}$, так и надо сказать (и обосновать). Если нет — найдите его базис и задайте его этим базисом. В любом случае, никакого воспоминания об $\mathbb R^3$ (т.е. о $x,y,z$) остаться уже не должно.

Спасибо! С линейностью я уже разобрался, это легко было проверить.
Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат? И как избавиться от $x,y,z$ --тоже не очевидно.
Мне кажется, что совпадает с $\mathbb R^2$, но как это обосновать, там третья координата мешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
belo4ka в сообщении #1030509 писал(а):
Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат?
Каким может быть результат? Одна плоскость (скорее всего), одна прямая, или одна точка. Вот и надо его представить через два параметра, или через один, или нисколько. А как избавиться от $x,y,z$ - э, собственно, в этом и состояло задание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 17:50 


28/05/12
69
ИСН в сообщении #1030511 писал(а):
belo4ka в сообщении #1030509 писал(а):
Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат?
Каким может быть результат? Одна плоскость (скорее всего), одна прямая, или одна точка. Вот и надо его представить через два параметра, или через один, или нисколько. А как избавиться от $x,y,z$ - э, собственно, в этом и состояло задание.

Я почитал здесь про образ http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/2311/ ... zadach.pdf Там сделали также как я, но в конце еще нашли базис в подпространстве образа оператора.

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}
x-2y\\
y+3z\\
\end{pmatrix}$

Пусть $x=0, y=0, z=\frac{1}{3}$, получаем вектор $\vec f_1=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
\end{pmatrix}$

Пусть $x=1, y=0, z=0$, получаем вектор $\vec f_2 =\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\end{pmatrix}$

Вектора $\vec f_1, \vec f_2$ представляют собой базис не только в $R^2$, но и в подпространстве $\operatorname{Im}f$ для данного оператора, то есть по сути получилось, что образ оператора и есть $R^2$.

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 17:57 


07/04/15
244
belo4ka
Да, тем более тут его размерность совпадает с размерность всего пространства, деться особо некуда. Но это как-то много лишних телодвижений. Образ это же линейная оболочка столбцов матрицы. Значит нужно понять, какие их них линейно независимые. А это становится понятно вовремя "гуассения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 18:05 


28/05/12
69
Спасибо! Понятно. А как со второй задачей из стартпоста? Я там не понимаю -- из каких сооображений составлять матрицу линейного отображения? В первой задаче было сразу видно, а здесь -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 18:29 


07/04/15
244
belo4ka
Оотображение линейное, нужно это использовать. Ну а вообще, матрица линейного отображения в паре фиксированных базисов что имеет по столбцам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 18:56 


28/05/12
69
2old в сообщении #1030543 писал(а):
belo4ka
Оотображение линейное, нужно это использовать. Ну а вообще, матрица линейного отображения в паре фиксированных базисов что имеет по столбцам?

Векторы, образующие линейную оболочку образа оператора!

-- 24.06.2015, 19:00 --

Используя линейность, имеем

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(\vec{e_1})+2f(\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\
 f(\vec{e_2})-f(\vec{e_3})&=&-\vec{e_2} \\
f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\
\end{array}
\right.$

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(\vec{e_1})&=&-2(\vec{e_3}-\vec{e_2})+ \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\
 f(\vec{e_2})&=&\vec{e_3}-\vec{e_2} \\
f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\
\end{array}
\right.$

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(\vec{e_1})&=&\vec{e_1}+2\vec{e_2})+\vec{e_3}\\
 f(\vec{e_2})&=&\vec{e_3}-\vec{e_2} \\
f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\
\end{array}
\right.$

Верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро и образ отображения.
Сообщение24.06.2015, 19:23 


07/04/15
244
belo4ka писал(а):
Образующие линейную оболочку образа оператора!

Ну это-то да, но вообще я имел ввиду что это образы базисных векторов входного пространства. Отсюда должно быть понятно, как и второй пункт делать. Да вы вроде это и так знаете, судя потому что сделали.

Сделали вроде верно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group