Ядро и образ отображения.

[belo4ka]

Рассмотрим отображение $f:\matbb{R}^3\to \matbb{R}^2$ :

$f(x,y,z)=(x-2y,y+3z)$

Найдите ядро отображения, образ линейного оператора, матрицу линейного оператора, классицифицируйте отображение.

Я так понимаю, что матрица линейного оператора будет такая:

$A=\begin{pmatrix} 1& -2& 0\\ 0& 1 &3 \\ \end{pmatrix}$

Найдем ядро:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x-2y&=& 0\\ y+3z&=&0 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=& -6C\\ y&=&-3C \\ z&=&C \end{array} \right.$

$\operatorname{Ker}f=C\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 1\\ \end{pmatrix}$

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix} x-2y\\ y+3z\\ \end{pmatrix}$

Насчет образа сомневаюсь, что верно. А что значит классифицировать отображение? (написать, что оно линейное и непрерывное? Как это можно доказать?) Верны ли рассуждения?

Верно? Но как найти образ?

-- 24.06.2015, 11:13 --

Еще по одной задаче есть вопросы:

В пространстве $\mathbb{R}^3$ канонический базис $B=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\ f(\vec{e_2}-\vec{e_3})&=&-\vec{e_2} \\ f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\ \end{array} \right.$$

1) Определите матрицу $A$ отображения $f$, которая соответствует базису $B=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$
2) Определите матрицу $A'$ отображения $f$, которая соответствует базису $B'=\{\vec{e_1}+2\vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_2}-\vec{e_3}\}$$

Тут сразу вопрос по $f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}$. Как можно было подействовать на вектор $(1,2,0)$, чтобы получить вектор $(1,0,3)$. Разве это возможно?

[svv]

belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}x-2y\\y+3z\end{pmatrix}$
Насчет образа сомневаюсь, что верно.

Это верно в том смысле, что образ оператора $f$ — это множество векторов $\mathbb R^2$, представимых в таком виде. Но результат надо представить не в таком виде.

Образ линейного оператора $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ — это некоторое подпространство $\mathbb R^2$. А какое именно? Если оно совпадает с $\mathbb R^2$ или $\{0\}$, так и надо сказать (и обосновать). Если нет — найдите его базис и задайте его этим базисом. В любом случае, никакого воспоминания об $\mathbb R^3$ (т.е. о $x,y,z$) остаться уже не должно.

[Brukvalub]

belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):

Тут сразу вопрос по $f(\vec{e_1}+2\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}$. Как можно было подействовать на вектор $(1,2,0)$, чтобы получить вектор $(1,0,3)$. Разве это возможно?

Какой-то безумный вопрос! Выше же ЯСНО НАПИСАНО, как нужно было подействовать... Какой еще ответ автор ТАКОГО вопроса ожидает на свой вопрос???

[belo4ka]

svv в сообщении #1030322 писал(а):

belo4ka в сообщении #1030295 писал(а):

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix}x-2y\\y+3z\end{pmatrix}$
Насчет образа сомневаюсь, что верно.

Это верно в том смысле, что образ оператора $f$ — это множество векторов $\mathbb R^2$, представимых в таком виде. Но результат надо представить не в таком виде.

Образ линейного оператора $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ — это некоторое подпространство $\mathbb R^2$. А какое именно? Если оно совпадает с $\mathbb R^2$ или $\{0\}$, так и надо сказать (и обосновать). Если нет — найдите его базис и задайте его этим базисом. В любом случае, никакого воспоминания об $\mathbb R^3$ (т.е. о $x,y,z$) остаться уже не должно.

Спасибо! С линейностью я уже разобрался, это легко было проверить.
Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат? И как избавиться от $x,y,z$ --тоже не очевидно.
Мне кажется, что совпадает с $\mathbb R^2$, но как это обосновать, там третья координата мешает.

[ИСН]

belo4ka в сообщении #1030509 писал(а):

Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат?

Каким может быть результат? Одна плоскость (скорее всего), одна прямая, или одна точка. Вот и надо его представить через два параметра, или через один, или нисколько. А как избавиться от $x,y,z$ - э, собственно, в этом и состояло задание.

[belo4ka]

ИСН в сообщении #1030511 писал(а):

belo4ka в сообщении #1030509 писал(а):

Но я что-то не пойму -- это в каком другом виде нужно представить результат?

Каким может быть результат? Одна плоскость (скорее всего), одна прямая, или одна точка. Вот и надо его представить через два параметра, или через один, или нисколько. А как избавиться от $x,y,z$ - э, собственно, в этом и состояло задание.

Я почитал здесь про образ http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/2311/ ... zadach.pdf Там сделали также как я, но в конце еще нашли базис в подпространстве образа оператора.

$\operatorname{Im}f=\begin{pmatrix} x-2y\\ y+3z\\ \end{pmatrix}$

Пусть $x=0, y=0, z=\frac{1}{3}$, получаем вектор $\vec f_1=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$

Пусть $x=1, y=0, z=0$, получаем вектор $\vec f_2 =\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}$

Вектора $\vec f_1, \vec f_2$ представляют собой базис не только в $R^2$, но и в подпространстве $\operatorname{Im}f$ для данного оператора, то есть по сути получилось, что образ оператора и есть $R^2$.

Правильно?

[2old]

belo4ka
Да, тем более тут его размерность совпадает с размерность всего пространства, деться особо некуда. Но это как-то много лишних телодвижений. Образ это же линейная оболочка столбцов матрицы. Значит нужно понять, какие их них линейно независимые. А это становится понятно вовремя "гуассения".

[belo4ka]

Спасибо! Понятно. А как со второй задачей из стартпоста? Я там не понимаю -- из каких сооображений составлять матрицу линейного отображения? В первой задаче было сразу видно, а здесь -- нет.

[2old]

belo4ka
Оотображение линейное, нужно это использовать. Ну а вообще, матрица линейного отображения в паре фиксированных базисов что имеет по столбцам?

[belo4ka]

2old в сообщении #1030543 писал(а):

belo4ka
Оотображение линейное, нужно это использовать. Ну а вообще, матрица линейного отображения в паре фиксированных базисов что имеет по столбцам?

Векторы, образующие линейную оболочку образа оператора!

-- 24.06.2015, 19:00 --

Используя линейность, имеем

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(\vec{e_1})+2f(\vec{e_2})&=& \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\ f(\vec{e_2})-f(\vec{e_3})&=&-\vec{e_2} \\ f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(\vec{e_1})&=&-2(\vec{e_3}-\vec{e_2})+ \vec{e_1}+3\vec{e_3}\\ f(\vec{e_2})&=&\vec{e_3}-\vec{e_2} \\ f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(\vec{e_1})&=&\vec{e_1}+2\vec{e_2})+\vec{e_3}\\ f(\vec{e_2})&=&\vec{e_3}-\vec{e_2} \\ f(\vec{e_3})=\vec{e_3}\\ \end{array} \right.$

Верно ли?

[2old]

belo4ka писал(а):

Образующие линейную оболочку образа оператора!

Ну это-то да, но вообще я имел ввиду что это образы базисных векторов входного пространства. Отсюда должно быть понятно, как и второй пункт делать. Да вы вроде это и так знаете, судя потому что сделали.

Сделали вроде верно