Вопрос, в принципе, снят.
В полуплоскости,
, ассоциированная по Борелю функция
совпадает с преобразованием Лапласа функции
вдоль положительной оси, т.е
На единичку сдвинуть индекс и получится, что требуется. Дальше возможны только ошибки в суммировании ряда.
Всё же интересно, как посчитать вот эту штуку
с помощью контурного интегрирования, что бы получить явный вид. Предполагаю, что нужно взять контур в виде урезанного кольца в верхней полуплоскости, т.к. особенность в точке
. А дальше представить квадрат синус в виде экспонент, интеграл по контуру такой функции будет равен 0. Отдельно посчитать на нижней полуокружности и отрезках. А потом устремить один радиус к бесконечности, другой к нулю. А там что-то получится. Но здесь мешает
- интеграл по верхней полуокружности не будет стремиться к нулю при стремлении радиуса к бесконечности...