планиметрия. угол между диагоналями прямоугольника

[KPEHgEJIb]

Задача: Найти угол между диагоналями прямоугольника с периметром $2p$ и площадью $\frac{3}{16}p^2$.

Решение:

По-идее, если узнать хотябы одну сторону, то задача будет решена.

Периметр - $2p = 2(a+b)$
Площадь - $\frac{3}{16}p^2 = ab$

$p = a+b$
$p = \frac{4\sqrt{ab}}{\sqrt{3}}$


$a = \frac{4\sqrt{ab}}{\sqrt{3}}-b$

И всё . Как ни выражал, всё время получаются, что одна переменная равняется значению с двумя переменными, и подставляя прихожу к первоначальному уравнению.

[Мироника]

Вы разите из $p = a+b$ $a$ подставьте в $\frac{3}{16}p^2 = ab$ и решив квадратное уравнение найдете $b$

[Echo-Off]

Лёгкий способ:

$a$ и $b$ определяются единственным образом с точностью до перестановки. Угадываем их: $a = \frac p4$, $b = \frac {3p}4$.


Сложный способ:

Нам известна сумма и произведение $a$ и $b$. Составляем квадратное уравнение:
$x^2 - px + \frac 3{16}p^2 = 0$,
его корнями будут являться $a$ и $b$.

[Алексей К.]

KPEHgEJIb писал(а):

По-идее, если узнать хотябы одну сторону, то задача будет решена.

Это потому, что зная одну сторону, Вы сразу знаете вторую. Много лишнего знаете. А ведь достаточно знать отношение сторон! И на эти минимальные знания задачка, видимо, и рассчитана. Попробуйте новую переменную завести --- отношение сторон. Вот, даже не пробуя дорешать (спатки хочу), уверен в своей правоте! А завтра обязательно проверю!

Добавлено спустя 6 минут 24 секунды:

$ \frac{4\sqrt{ab}}{\sqrt{3}}= a+b$
На $b$ поделили, и всё: $ \frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{a}{b}}= \frac{a}{b}+1$. Квадратное уравнение, тангенс половинки искомого угла у нас в кармане!

Добавлено спустя 5 минут 54 секунды:

KPEHgEJIb писал(а):

Периметр - $2p = 2(a+b)$
Площадь - $\frac{3}{16}p^2 = ab$
И всё . Как ни выражал, всё время получаются, что одна переменная равняется значению с двумя переменными, и подставляя прихожу к первоначальному уравнению.

А как это Вы собирались решить два уравнения с темя неизвестными? У Вас просто получился поучительный экспириенс. Возясь с такими штуками, люди ума и набираются.
Не, завтра дорёшивать не буду, считаю, всё сделал сегодня.

А если и сюда прийдёт дядя Архипов, и скажет, что и здесь всё не так, Вы отнеситесь к его словам с подозрением...

Добавлено спустя 5 минут 19 секунд:

Echo-Off писал(а):

Лёгкий способ:...
Сложный способ...

Это Echo-Off от скромности так их назвал. Они оба гениальные. Мой --- в хорошем смысле тупой, т.е. стандартный.

[KPEHgEJIb]

Мироника
$\frac{3}{16}p^2=(p-b)b$
$b^2-pb+\frac{3}{16}p^2=0$
$D=\frac{7p^2}{4}$
$b=p(2+\sqrt{7})$

И что теперь с этим делать? Очевидно я неправильно решаю.

Echo-Off

Echo-Off писал(а):

Лёгкий способ:
$a$ и $b$ определяются единственным образом с точностью до перестановки. Угадываем их: $a = \frac p4$, $b = \frac {3p}4$.

Чувствую себя идиотом. По какому принципу определяются? Как понять с точностью до перестановки? Судя по всему, я не имею достаточных знаний чтобы справится с этой задачей. Может есть какие-нибудь подходящие ресурсы?

Понял что в сложном способе идёт речь о теореме Виета. Но составить квадратное уравнение всё-равно не знаю как.

Алексей К.
Поделил на $b$, получил, как и вы, $\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{3b}}=\frac{a}{b}+1$
Но каким образом это можно связать с тангенсом половинки искомого угла - ума не приложу

[Мироника]

KPEHgEJIb писал(а):

$b^2-pb+\frac{3}{16}p^2=0$

Уравнение составлено правильно

KPEHgEJIb писал(а):

$D=\frac{7p^2}{4}$

А дискриминант нашли с ошибкой. Пересчитайте еще раз.

Корни должны получиться как Echo-Off писал.
С точностью до перестановки обозначает, что можно написать, что $a = \frac p4$, $b = \frac {3p}4$ или $b = \frac p4$, $a = \frac {3p}4$

[KPEHgEJIb]

Мироника
Пересчитал. Получилось $\frac{p^2}{4}$

Выходит, что отношение сторон $1:\frac{3}{2}$.

Угол получился 67,38°

[Мироника]

KPEHgEJIb писал(а):

Выходит, что отношение сторон $1:\frac{3}{2}$.

Как же так???????
Стороны такие $a = \frac p4$, $b = \frac {3p}4$
Тогда $\frac {a} {b} = \frac { \frac p4} {\frac {3p}4}= \frac13$

[KPEHgEJIb]

Мироника писал(а):

$b = \frac {3p}4$

Почему $b = \frac {3p}4$? Корень же получается $b = 3p$?

[Мироника]

KPEHgEJIb писал(а):

Корень же получается $b = 3p$?

Нет. Пересчитываем...

[KPEHgEJIb]

Мироника
Всё, я разобрался. Нашёл свою ошибку

[Мироника]

Поздравляю