2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 17:44 
Vince Diesel
А чья теорема, не подскажете? или где посмотреть.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 18:30 
terminator-II в сообщении #292904 писал(а):
Padawan в сообщении #292902 писал(а):
По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

Теорема Бореля. Нарасимхан Анализ на действительных и комплексных многообразиях.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 18:32 
Пасиба. :D

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 18:47 
Аватара пользователя
Borel (without Heine) theorem:
Stackexchange писал(а):
Borel's theorem states that given a sequence of real numbers $(a_n)_{n\in\mathbb N}$" there exists a $C_\infty$ function $ f\in C_\infty(\mathbb R)$ such that $\dfrac {f^{(n)}(0)}{n!}=a_n $ , i.e. the Taylor series associated to $f$ is $\sum a_nx^n$.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 18:57 
Otta в сообщении #1028937 писал(а):
или где посмотреть
Кажется, что видел в книге: Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе (нет под рукой, чтобы посмотреть).

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 19:00 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1028936 писал(а):
Есть теорема, что для любой последовательности чисел $\{a_n\}$ существует бесконечно дифференцируемая на $\mathbb R$ функция $g$ такая, что $g^{(n)}(0)=a_n$, $n=0,1,\ldots$
Там есть небольшая "НО". Для быстрорастущих $a_n$ радиус сходимости может оказаться нулевой.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 19:09 
Dan B-Yallay в сообщении #1028962 писал(а):
Для быстрорастущих $a_n$ радиус сходимости может оказаться нулевой.
Судьба такой, ничего не поделаешь.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 19:27 
По идее продолжить можно всегда, если внутри отрезка функция f гладкая и на концах есть односторонние производные. Изначально у меня задача была доказать, что существует финитная функция, такая что ее ограничение на отрезок есть f. Но если можно просто гладко продолжить на R, то умножив на "шляпу" получим то, что надо.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 19:42 
Аватара пользователя
Ну, со шляпами-то всё на свете можно гладко сшить с чем угодно, конечно. Так нечестно.

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 19:56 
Всмысле? То есть что бы ни было за отрезком, пусть просто константа, то умножив на шляпу, получим гладкую ( и финитную, разумеется) ?

 
 
 
 Re: Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?
Сообщение19.06.2015, 20:19 
Вот, я тут нашла. Whitney extension theorem Вообще, это известный результат, в смысле, на слуху, что всякий формальный степенной ряд является рядом Тейлора гладкой функции, но почему-то я всегда считала, что он локальный.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group