Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?

[Otta]

Vince Diesel
А чья теорема, не подскажете? или где посмотреть.

[Vince Diesel]

terminator-II в сообщении #292904 писал(а):

Padawan в сообщении #292902 писал(а):

По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

Теорема Бореля. Нарасимхан Анализ на действительных и комплексных многообразиях.

[Otta]

Пасиба.

[Dan B-Yallay]

Borel (without Heine) theorem:

Stackexchange писал(а):

Borel's theorem states that given a sequence of real numbers $(a_n)_{n\in\mathbb N}$" there exists a $C_\infty$ function $ f\in C_\infty(\mathbb R)$ such that $\dfrac {f^{(n)}(0)}{n!}=a_n $ , i.e. the Taylor series associated to $f$ is $\sum a_nx^n$.

[nnosipov]

Otta в сообщении #1028937 писал(а):

или где посмотреть

Кажется, что видел в книге: Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе (нет под рукой, чтобы посмотреть).

[Dan B-Yallay]

Vince Diesel в сообщении #1028936 писал(а):

Есть теорема, что для любой последовательности чисел $\{a_n\}$ существует бесконечно дифференцируемая на $\mathbb R$ функция $g$ такая, что $g^{(n)}(0)=a_n$, $n=0,1,\ldots$

Там есть небольшая "НО". Для быстрорастущих $a_n$ радиус сходимости может оказаться нулевой.

[nnosipov]

Dan B-Yallay в сообщении #1028962 писал(а):

Для быстрорастущих $a_n$ радиус сходимости может оказаться нулевой.

Судьба такой, ничего не поделаешь.

[firone]

По идее продолжить можно всегда, если внутри отрезка функция f гладкая и на концах есть односторонние производные. Изначально у меня задача была доказать, что существует финитная функция, такая что ее ограничение на отрезок есть f. Но если можно просто гладко продолжить на R, то умножив на "шляпу" получим то, что надо.

[ИСН]

Ну, со шляпами-то всё на свете можно гладко сшить с чем угодно, конечно. Так нечестно.

[firone]

Всмысле? То есть что бы ни было за отрезком, пусть просто константа, то умножив на шляпу, получим гладкую ( и финитную, разумеется) ?

[Otta]

Вот, я тут нашла. Whitney extension theorem Вообще, это известный результат, в смысле, на слуху, что всякий формальный степенной ряд является рядом Тейлора гладкой функции, но почему-то я всегда считала, что он локальный.