Как продолжить бесконечно дифф на отрезке функцию на все R?

[firone]

Отражать относительно вертикальных прямых, проходящих через концы отрезка и переворачивать не проходит, в этих точках будет не дифференцируема

[ИСН]

Да обычным образом, через ряд. Она, правда, может оказаться непродолжаема, но тогда уж ничего не сделаешь.

[mihailm]

Отражаем относительно крайних точек, влево и вправо

[ИСН]

Отражать нельзя.

[grizzly]

ИСН в сообщении #1028886 писал(а):

Она, правда, может оказаться непродолжаема, но тогда уж ничего не сделаешь.

В каком смысле "может оказаться непродолжаема"? Обычным образом (через ряд) или вообще? Про вообще сложно поверить.

[ИСН]

Непродолжаема бесконечно дифференцируемым образом. Так-то вообще можно, но получится излом

-- менее минуты назад --

в каком-то порядке

[grizzly]

ИСН в сообщении #1028898 писал(а):

Непродолжаема бесконечно дифференцируемым образом.

Я всегда был уверен, что если обрезать все финитные бесконечно дифференцируемые функции по оси $OX$ концами отрезка $[a;b]$, то получим все бесконечно дифференцируемые функции на этом отрезке. Неужели я ошибался и существует какое-то контррассуждение или пример?

[ИСН]

Не вижу противоречия.

[Otta]

ИСН в сообщении #1028911 писал(а):

Не вижу противоречия.

Тогда можно продолжить до гладкой финитной, не?

[ИСН]

Вот функция $\arcsin x$, она бесконечно дифференцируема внутри области определения; как Вы её продолжите до гладкой?

[Otta]

Да никак. Я, собственно, вообще не знаю, что такое дифференцируемость на отрезке.

[mihailm]

Я считаю, что дифференцируема на отрезке, если есть соответствующие правые/левые производные

[Munin]

Интересно, как продолжается $e^{-x^{-2{,}5}}$ за пределы отрезка $[1,2]$?

[mihailm]

Munin в сообщении #1028921 писал(а):

Интересно, как продолжается $e^{-x^{-2{,}5}}$ за пределы отрезка $[1,2]$?

как я написал, например

[Vince Diesel]

Есть теорема, что для любой последовательности чисел $\{a_n\}$ существует бесконечно дифференцируемая на $\mathbb R$ функция $g$ такая, что $g^{(n)}(0)=a_n$, $n=0,1,\ldots$ Если теперь исходная функция $f$ задана на $[0,1]$ и $a_n=f^{(n)}(0+)$, то, склеивая $g$ слева от нуля и $f$ справа, получим б.д. функцию на $(-\infty,1]$. Аналогично с правым концом.