неголономный вариационный принцип

[Oleg Zubelevich]

В этой теме на простом примере показываются связи и различия между голономным и неголономным вариационным принципом.


Рассмаотрим систему с лагранжианом

$$L(x,\dot x)=\frac{1}{2}g_{ij}\dot x^i\dot x^j,\quad x=(x^1,\ldots,x^m)\in \mathbb{R}^m,\quad \det (g_{ij})\ne 0,\quad g_{ij}=g_{ji}.$$

Для простоты будем считать, что $g_{ij}=const$.
Будем искать экстремали функционала действия $\int_{t_1}^{t_2}L(x(t),\dot x (t))dt$ в классе гладких кривых $x(t)$ с закрепленными концами $x(t_i)=x_i,\quad i=1,2$ подчиненных уравнению связи

$$a_k(x)\dot x^k=0\qquad (*)$$

Как известно, решение этой задачи удовлетворяет системе с лагранжианом $\mathcal L=L-\lambda a_k\dot x^k$ (где $ \lambda =\lambda(t)$ -- множитель Лагранжа), которая записывается следующим образом

$$g_{ik}\ddot x^i-\dot \lambda a_k-\lambda \dot x^s\Big(\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\Big)=0.\qquad (**)$$

Для того, что бы записать систему (*)-(**) в виде разрешенном относительно старших производных, продифференуируем формулу (*) по $t$:

$$\frac{\partial a_i}{\partial x^n}\dot x^n\dot x^i+a_i\ddot x^i=0$$

и подставим в эту формулу $\ddot x^i$ , выраженный из (**)

$$\frac{\partial a_i}{\partial x^n}\dot x^n\dot x^i+a_ig^{ik}\Big(\dot \lambda a_k+\lambda \dot x^s\Big(\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\Big)\Big)=0.\qquad (***)$$

Уравнение (***) легко разрешается относительно $\dot \lambda$, полученное выражение еще следует подставить в (**).
Таким образом решение поставленной вариационной задачи находится из системы дифференциальных уравнений (**)-(***) на неизвестные функции $x(t),\lambda(t)$.

Отметим некоторые особенности данной системы.
1 случай: форма $\omega=a_idx^i$ не является замкнутой: $\frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}\ne 0$. В этом случае система (**)-(***) представляет собой систему вакономной механики.
Отметим, что система (**)-(***) не совпадает, вообще говоря, с системой уравнений классической неголономной механики:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial L}{\partial x^i}=\mu a_i,$$

где $\mu$ -- множитель Лагранжа.

Важная особенность системы (**)-(***) состоит в том, что для того что бы получитьь единственное решение недостаточно задавать начальные условия лишь на $x, \quad x(0),\quad \dot x(0)$, нужно задавать еще $\lambda(0)$. При разных $\lambda(0)$ и одних и тех же $x(0),\quad \dot x(0)$ мы будем получать разные $x(t)$. В этом смысле решение задачи вакономной механики не единственно.

2 случай: $d\omega =0,\quad \frac{\partial a_k}{\partial x^s}-\frac{\partial a_s}{\partial x^k}=0$. Локально это означает, что $a_i=\frac{\partial f(x)}{\partial x^i},$ а связь (*) переписывается в виде $f(x)=0$. Выражая $\dot \lambda$ из системы (***) и подставляя полученное выражение в (**) мы получаем систему уравнений классической механики с лагранжианом $L$ и дополнительной голономной связью $f(x)=0$.

[scwec]

Можно было бы упомянуть в 1 случае, что если $d\omega\ne{0}$, а $\omega\wedge{d\omega}=0$, то система голономна (термин вакономная может потребовать дополнительных разъяснений).
В общем, впечатление неплохое.

[Oleg Zubelevich]

да, конечно, спасибо