Анализ результатов. Разделение функции.

[niko.zvt]

Доброго времени суток. Простите за тривиальный вопрос. Тяжеловато приходится в университете с математикой, а в особенности с функциональным анализом. Имеются экспериментальные данные, точки, по которым строится график, не имеющий на данном этапе аналитической формулы. Например так

Предположим, что исходный "пик и плечо" функции является суперпозицией двух "простых пиков", например парабол. Как разделить этот пик? При этом получить 2 функции (аналитические формулы, например в виде многочлена n-й степени), при сложении которых получим исходный график.
Наверняка необходимо сначала аппроксимировать функцию, а далее каким либо методом разделить. Собственно проблема - отсутствие и незнание метода. Буду очень благодарен, если ткнете в литературу с описанием данного метода.

[Pphantom]

Функциональный анализ тут, вообще говоря, ни при чем.

Общая идея выглядит так: записываете желаемое аналитическое представление, в котором есть некоторое количество свободных параметров, затем ищете такой набор значений, при котором имеющиеся точки в том или ином смысле меньше всего отклоняются от аналитически заданной функции. Конкретных вариантов реализации может быть много: например, метод наименьших квадратов, хотя можно задать и какой-нибудь свой критерий отклонения, после чего численно найти минимум.

И, кстати, картинка, которую Вы нарисовали, куда больше похожа на сумму двух гауссиан.

[Александрович]

Хорошо бы конечно формулы замкнуть на физику.

[niko.zvt]

UPD: Точно известно что получившийся график - сумма 2х нормальных распределений.

$f(x)=a_1 \cdot \exp(\frac{(x-b_1)^2}{c_1})+a_2 \cdot \exp(\frac{(x-b_2)^2}{c_2})$

Каким из методов можно определить эти неизвестные коэффициенты?

Мои догадки такие:
1) Аппроксимировать исходную функцию, чтобы иметь аналитическую формулу
2) Определить метод нахождения коэффициентов $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$
3) Найти коэффициенты и построить распределения

[ИСН]

Пункт 1 Вы уже сделали. А коэффициенты в таком банальном случае вполне можно найти на глаз, без никакого метода.

[Александрович]

Первая мода это $b_1$, вторая - $b_2$.

[Vince Diesel]

Нелинейный метод наименьших квадратов.

[Pphantom]

niko.zvt в сообщении #1028095 писал(а):

UPD: Точно известно что получившийся график - сумма 2х нормальных распределений.

Ну да, этого и следовало ожидать.

niko.zvt в сообщении #1028095 писал(а):

1) Аппроксимировать исходную функцию, чтобы иметь аналитическую формулу

Это утверждение сродни такому: "чтобы решить задачу, задачу нужно решить". Правильно, но, увы, бесполезно.

Давайте начнем с таких вопросов:
1) С какой погрешностью известны абсциссы и ординаты точек? Можно ли считать все погрешности одинаковыми? Можно ли считать, что абсциссы известны точно и погрешности есть только у ординат?
2) Сколько экспериментальных точек у Вас есть (или сколько может быть)?

[niko.zvt]

Измеряется физическая величина (диэлектрическая проницаемость/диэлектрические потери) от температуры. Примерно 1 измерение в 5 секунд. От комнатной температуры до 300 - 500 градусов по Цельсию.

1) С какой погрешностью известны абсциссы и ординаты точек? Можно ли считать все погрешности одинаковыми? Можно ли считать, что абсциссы известны точно и погрешности есть только у ординат?
Абсциссы известны точно, ординаты могут быть отличны от измеряемой величины в 5-7 знаках после запятой.

2) Сколько экспериментальных точек у Вас есть (или сколько может быть)?
Примерно от 750 до 1500 точек.


График полностью из точек, 2 прохода - нагрев и охлаждение. ~1800 точек

[Александрович]

niko.zvt в сообщении #1028288 писал(а):

Измеряется физическая величина (диэлектрическая проницаемость/диэлектрические потери) от температуры. Примерно 1 измерение в 5 секунд. От комнатной температуры до 300 - 500 градусов по Цельсию.

График полностью из точек, 2 прохода - нагрев и охлаждение. ~1800 точек

Это как понимать если по Вашему:

niko.zvt в сообщении #1028095 писал(а):

UPD: Точно известно что получившийся график - сумма 2х нормальных распределений.

А отдельно диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери измерить невозможно? Только их отношение?

[niko.zvt]

Александрович
Вы не совсем поняли. Измеряем мы изменение физической величины под воздействием температуры на образец. А исследование проводим самого графика. Вы можете видеть что резкий пик, совпадает с моментом фазового перехода второго рода. А это плечо слева, это вклад ещё одного из эффектов. Чтобы проанализировать оба явления, необходимо разделить этот пик с плечом на 2 нормальных распределения, суперпозиция которых будет соответствовать данной кривой.

[ИСН]

Мы под нормальными понимали нечто иное.

[Александрович]

niko.zvt, из приведенного Вами графика не следует что следует расщеплять смесь двух нормальных распределений.