Параметры экранирования

[Kirill_Sal]

Какой смысл несет такая величина, как радиус экранирования атома?

Чем вызван вопрос и что у меня несостыковывается в голове:

1) На лекциях нам рассказывали приближенную модель рассеяния частиц в экранированном Кулоновском поле атома. Суть модели заключается в том, что существует некоторое расстояние (обозначим $a_{1}$ такое что при $r\geq a_{1}$ потенциал атома $U(r)\sim 0$ (т.е.на расстояних, больших $a_{1}$, атом-мишень как бы считается нейтральным). Модель по-моему немного дурацкая, но суть не в этом.

2) В следующей лекции нам рассказывали про простейшие модели атомных потенциалов (Бор, Томас-Ферми, Фирсов) и из применениям в задачах рассеяния. Так вот, к примеру, в модели Томаса-Ферми был введен параметр (обозначим $a_{2}$), т.н."параметр экранирования":

$a_{2}=0,885a_{H}(Z_{1}^{1/2}+Z_{2}^{1/2})^{-2/3}$, где $a_{H}$ - первый боровский радиус, $Z_{1}$ и $Z_{2}$ - зарядовые числа атома-мишени и падающей частицы. То есть, данная величина является достаточно малой, - даже меньше первого боровского радиуса.

Теперь более конкретно: проблема в том, что на самом деле в лекциях обозначения были $a_{1}=a_{2}=a$. По-моему очевидно, что в пункте 1) параметр $a_{1}$ несет совершенно другой смысл, нежели $a_{2}$ в пункте 2). (Если это так, то задача рассеяния просто теряет смысл, - частица не может рассеяться, если не залетает в атом ) Почему $a_{2}$ в модели Томаса-Ферми (или других моделях) называется радиусом экранирования и какой на самом деле смысл несет эта величина? Имеет ли какой-то физический смысл $a_{1}$ в пункте 1) или это просто некое с потолка взятое характерное расстояние?
Вообщем-то больше всего меня сбило с толка именно то, что $a_{1}$ и $a_{2}$ обозначили одним символом.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1026869 писал(а):

(Если это так, то задача рассеяния просто теряет смысл, - частица не может рассеяться, если не залетает в атом :shock: )

По сути, именно этот смысл задача рассеяния и имеет. Что такое "атом"? Это ядро. Плюс очень размытая "атмосфера" из электронов. Рассеяние частицы происходит именно на ядре.

Отучайтесь думать об атоме, как о "твёрдом шарике". Атом для вас (теоретика) - это точка с координатами $(x_0,y_0,z_0).$ А если какое-то взаимодействие чувствует вокруг этой точки какой-то неточечный форм-фактор - то это уже личные этого взаимодействия проблемы.

Например, если измерять ядро, то у него получаются разные радиусы в зависимости от способа измерения. Нейтронами - один, электронами - другой.

Kirill_Sal в сообщении #1026869 писал(а):

Почему $a_{2}$ в модели Томаса-Ферми (или других моделях) называется радиусом экранирования и какой на самом деле смысл несет эта величина?

Давайте подумаем об электронном облаке как о классическом "тумане" заряда - некоторой размазанной в пространстве плотности заряда. Что тогда будет представлять собой атом? Конденсатор :-) В середине большой "+", вокруг него сферический "−". Этот "−" имеет плотность, спадающую по экспоненте. В результате, и поле вокруг ядра спадает по экспоненте, и можно смотреть на её характерный радиус.

Если летит шальная частица, и испытывает рассеяние, то снаружи "конденсатора" она ничего не почувствует, а вот залетев в "туман" - начнёт чувствовать поле ядра.

Если мы рассматриваем многоэлектронный атом, то можем вынуть из атома один электрон, и останется такая же конструкция - только суммарный "−" недостаточен, чтобы скомпенсировать всё поле ядра. В результате, получится потенциал, который на больших расстояниях кулоновский с зарядом $+e,$ а вот в середине - опять экспоненциальный, пока в самом центре не появится заряда $+Ze.$ (При этом, поле там будет правильное, а потенциал всё-таки "подсядет", ибо интеграл от поля.) И в таком потенциале "живёт" наш отдельно взятый электрон. Это, кажется, и будет то ли Томас-Ферми, то ли Хартри-Фок.

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #1026894 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1026869 писал(а):

Отучайтесь думать об атоме, как о "твёрдом шарике". Атом для вас (теоретика) - это точка с координатами $(x_0,y_0,z_0).$ А если какое-то взаимодействие чувствует вокруг этой точки какой-то неточечный форм-фактор - то это уже личные этого взаимодействия проблемы.

На самом деле вопрос из экспериментального курса, в котором представлении об атоме как о "шарике" довольно распространено. Под "радиусом" атома я привык понимать скорее некую характеристику создаваемого его ядром поля и фигурирующую в важной безразмерной величине $ka$, известной из теории рассеяния в КМ. В этом смысле скорее приходится переучиваться перед экзаменом. На самом деле согласен с Вами, что для того, чтобы частица рассеялась, она должна оказаться в электронном облаке, - т.е. в характерной области пространства, в которой волновая функция электронов атома заметно отлична от нуля. Непонятно скорее вот что:

Munin в сообщении #1026894 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1026869"
[quote="Kirill_Sal в сообщении #1026869 писал(а):

Почему $a_{2}$ в модели Томаса-Ферми (или других моделях) называется радиусом экранирования и какой на самом деле смысл несет эта величина?

Давайте подумаем об электронном облаке как о классическом "тумане" заряда - некоторой размазанной в пространстве плотности заряда. Что тогда будет представлять собой атом? Конденсатор В середине большой "+", вокруг него сферический "−". Этот "−" имеет плотность, спадающую по экспоненте. В результате, и поле вокруг ядра спадает по экспоненте, и можно смотреть на её характерный радиус.

Если летит шальная частица, и испытывает рассеяние, то снаружи "конденсатора" она ничего не почувствует, а вот залетев в "туман" - начнёт чувствовать поле ядра.

Если мы рассматриваем многоэлектронный атом, то можем вынуть из атома один электрон, и останется такая же конструкция - только суммарный "−" недостаточен, чтобы скомпенсировать всё поле ядра. В результате, получится потенциал, который на больших расстояниях кулоновский с зарядом $+e,$ а вот в середине - опять экспоненциальный, пока в самом центре не появится заряда $+Ze.$ (При этом, поле там будет правильное, а потенциал всё-таки "подсядет", ибо интеграл от поля.) И в таком потенциале "живёт" наш отдельно взятый электрон. Это, кажется, и будет то ли Томас-Ферми, то ли Хартри-Фок.

Видите ли, из формулы для $a_{2}$, которую я указал Выше, следует, что эта величина тем меньше, чем больше зарядовое число атома. Но чем больше зарядовое число, тем больший объем вокруг ядра занимает та самая характерная область, в которой могут летать электроны атома. Какие же основания/мотивация параметр $a_{2}$ как-то связывать с рассеянием шальных частиц на атоме? Если я правильно понял, предложенное Вами мысленное построение с выбыванием электрона мотивирована вопросом появления шальной частицы в электронном облаке?

(Оффтоп)

Чувствую, что последняя фраза как-то совсем не по-русски звучит

Kirill_Sal в сообщении #1026869 писал(а):

(Если это так, то задача рассеяния просто теряет смысл, - частица не может рассеяться, если не залетает в атом )

Вот в этой фразе следовало написать "залетает глубоко в атом". Прошу прощения за небрежность.

-- 14.06.2015, 01:45 --

[Kirill_Sal]

Munin
Я еще немного подумал на эту тему и вот какой сделал вывод:
На самом деле при $r>a$ рассеяние частицы конечно происходит, но поле в этой области будет определяться дипольным, квадрупольным и более высокими мультипольными моментами. Видимо такие поля в приближении, пригодном для многих экспериментальных вопросов, оказывают пренебрежимо малое влияние на рассеяние частиц. Это все хорошо, но смысл величины "параметр экранирования $a_{2}$ применительно к рассеянию мне по-прежнему непонятен.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1026982 писал(а):

На самом деле при $r>a$ рассеяние частицы конечно происходит, но поле в этой области будет определяться дипольным, квадрупольным и более высокими мультипольными моментами.

Теперь у вас в другую сторону отклонение. Раньше у вас атом был шариком, в который залетать глубже $a$ нельзя, теперь у вас атом - шарик, в который залетать можно, но на радиусе $a$ он резко заканчивается. Ерунда какая. Постройте экспоненту $e^{-r/a}$ у себя на манжете, посмотрите на неё, и скажите "а-а-а!".

Для большей ясности, постройте к ней ещё касательную в нуле $1-r/a.$ Теперь вам должно быть видно, что $a$ - это характерная длина, в том смысле, что на расстояниях $r\gg a$ всё уходит в нуль (и очень быстро, не как какие-нибудь степенные мультиполи), на расстояниях $r\ll a$ эту функцию можно практически считать единичной, а на расстояниях $r\sim a$ - грубо аппроксимировать этой самой касательной, заканчивая её в нуле. Очень грубо, конечно. Но для многих оценок "а какого порядка будет тот или иной эффект" - подходит. Можно и ещё грубее: аппроксимировать единицей при $r<a,$ и нулём - вокруг. Но потом вспоминать, что это всё-таки аппроксимации.

Удивительно, как вы в сложные вещи лезете, а элементарных не знаете.

Kirill_Sal в сообщении #1026905 писал(а):

Видите ли, из формулы для $a_{2}$, которую я указал Выше, следует, что эта величина тем меньше, чем больше зарядовое число атома. Но чем больше зарядовое число, тем больший объем вокруг ядра занимает та самая характерная область, в которой могут летать электроны атома.

Второй пункт - ошибка.

На самом деле (и это удивительно, и образуется какими-то сокращениями не помню в чём), все атомы примерно одного размера. Все они - порядка боровского радиуса. По Периодической таблице, размеры атомов меняются периодически: в начале строчки крупные, потом мельче, мельче, и к концу строчки минимум. Потом начинается заполнение следующей $s$-оболочки (в этом смысле, и пространственной, и энергетической). И она "наслаивается", "надстраивается" над предыдущими: предыдущие продолжают уменьшаться, а новая - возвращает общий размер атома в прежний диапазон.

Но подумаем вот о чём. Нас ведь интересует не рассеяние падающей частицы на заряде порядка $e.$ Это-то она найдёт и на боровском радиусе. Нас интересует та часть рассеяния, где падающая частица почувствует полный заряд ядра $Ze,$ или хотя бы что-то того же порядка ($Z$ может быть порядка сотни, напоминаю). А вот эта область, как я только что сказал, всё сжимается и сжимается.

Посмотрим на это и с другой стороны. Большинство электронов чувствуют именно заряд порядка $Ze$ (если половина электронов экранирует половину этого заряда, то вторая половина почувствует оставшуюся половину этого заряда, а это тоже немало). А значит, они "живут" во всё более глубоком и глубоком, сжимающемся и сжимающемся кулоновском колодце. (По мере того, как мы наращиваем номер элемента.) А значит, они и сами сжимаются к центру своими волновыми функциями. См. водородоподобный атом, и как в нём дефинируется радиус волновой функции $a$ - там ведь $Z$ фигурирует. Так что, всё наоборот, как вы сказали: чем больше зарядовое число, тем меньше область, в которой сосредоточено большинство электронов.

А дальняя периферия этого большинства электронов не содержит - она практически выглядит как очень лёгкий атом с несколькими электронами. И её радиус порядка радиуса Бора. Но для задачи рассеяния эта периферия мало интересна: она вносит только слабые поправки (поле в ней в $Z$ раз меньше, чем во внутренней области).

Kirill_Sal в сообщении #1026905 писал(а):

Если я правильно понял, предложенное Вами мысленное построение с выбыванием электрона мотивирована вопросом появления шальной частицы в электронном облаке?

Я вот тут боюсь попутать разные модели, Хартри-Фока я помню очень смутно, а Томаса-Ферми не помню вообще. Но идея там не в физическом выбывании электрона, а в том, что мы рассматриваем один электрон, усредняя поле от всех остальных электронов, и тогда это усреднённое поле позволяет считать, что мы в какой-то одночастичной квантовой задаче (в которой рассматриваемый электрон - на связанном уровне). Но заряд в ней распределённый, и поле создаётся этим размытым зарядом (плюс заряд ядра, конечно же). Это поле "атома минус один электрон". А когда рассматривается рассеяние шальной частицы, то там другое поле - "атома со всеми электронами". Но разница в один электрон не слишком велика для больших $Z,$ так что по сути эти две идеи ведут себя одинаково.

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #1027047 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1026982 писал(а):

На самом деле при $r>a$ рассеяние частицы конечно происходит, но поле в этой области будет определяться дипольным, квадрупольным и более высокими мультипольными моментами.

Теперь у вас в другую сторону отклонение. Раньше у вас атом был шариком, в который залетать глубже $a$ нельзя, теперь у вас атом - шарик, в который залетать можно, но на радиусе $a$ он резко заканчивается.

А где я говорил, что атом - это шарик, в который глубже $a$ залететь нельзя?
Я говорил, о том, что при $r>a$ частица почти не чувствует поле.
Но разве поле атома не определяется мультипольными моментами?
В ЛЛ в главе про атом есть целый параграф на эту тему. А Бор, Томас-Ферми - это приближенные модели, более ясно показывающие качественную сторону явлений.

Munin в сообщении #1027047 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1026982 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1026905 писал(а):

Видите ли, из формулы для $a_{2}$, которую я указал Выше, следует, что эта величина тем меньше, чем больше зарядовое число атома. Но чем больше зарядовое число, тем больший объем вокруг ядра занимает та самая характерная область, в которой могут летать электроны атома.

Второй пункт - ошибка.

На самом деле (и это удивительно, и образуется какими-то сокращениями не помню в чём), все атомы примерно одного размера. Все они - порядка боровского радиуса. По Периодической таблице, размеры атомов меняются периодически: в начале строчки крупные, потом мельче, мельче, и к концу строчки минимум. Потом начинается заполнение следующей $s$-оболочки (в этом смысле, и пространственной, и энергетической). И она "наслаивается", "надстраивается" над предыдущими: предыдущие продолжают уменьшаться, а новая - возвращает общий размер атома в прежний диапазон.

Но подумаем вот о чём. Нас ведь интересует не рассеяние падающей частицы на заряде порядка $e.$ Это-то она найдёт и на боровском радиусе. Нас интересует та часть рассеяния, где падающая частица почувствует полный заряд ядра $Ze,$ или хотя бы что-то того же порядка ($Z$ может быть порядка сотни, напоминаю). А вот эта область, как я только что сказал, всё сжимается и сжимается.

Посмотрим на это и с другой стороны. Большинство электронов чувствуют именно заряд порядка $Ze$ (если половина электронов экранирует половину этого заряда, то вторая половина почувствует оставшуюся половину этого заряда, а это тоже немало). А значит, они "живут" во всё более глубоком и глубоком, сжимающемся и сжимающемся кулоновском колодце. (По мере того, как мы наращиваем номер элемента.) А значит, они и сами сжимаются к центру своими волновыми функциями. См. водородоподобный атом, и как в нём дефинируется радиус волновой функции $a$ - там ведь $Z$ фигурирует. Так что, всё наоборот, как вы сказали: чем больше зарядовое число, тем меньше область, в которой сосредоточено большинство электронов.

Вот этот момент я перечитал сегодня: да, ошибка. От зарядового числа средний азмер атома не зависит. При этом наибольшая часть электронов будет находиться на расстоянии $Z^{-1/3}$ от ядра. Т.е.логика дальнейший рассуждений такова, что параметр экранирования $a_{2}$, введенный мной Выше, характеризует именно область, где частица почувствует полный заряд ядра? Это я уловил, но без выкладок не слишком уверенно.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1027061 писал(а):

Но разве поле атома не определяется мультипольными моментами?

Любую функцию можно разложить по мультипольным моментам. Это то же самое, что разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечности.

Но это имеет хороший смысл для функций, которые на больших $r$ ведут себя полиномиально. Или для функций от $\theta,\varphi$ (при этом от моментов используется только сферическая часть).

А поле атома - оно же экспоненциальное.

Впрочем, дайте цитату или ссылку, откуда дровишки, может, я неправ.

Kirill_Sal в сообщении #1027061 писал(а):

Т.е.логика дальнейший рассуждений такова, что параметр экранирования $a_{2}$, введенный мной Выше, характеризует именно область, где частица почувствует полный заряд ядра?

Не обязательно буквально полный. Пусть она чувствует хотя бы $Ze/2.$ Это тоже достаточно много по сравнению с $e.$ И тоже уменьшается по $\sim Z^{-1/3}.$

[Kirill_Sal]

Munin
В квантовой механике мультипольные моменты атома рассматриваются в ЛЛ3 (г.в.1989) параграф 75. Про экранировку кстати во всем учебнике, к сожалению, нет ни слова (только косвенные упоминания).
Я бы сказал, что экспоненциальным является поле ядра с учетом экранировки электронами, - причем это одна из приближенных моделей (Бор). И эта модель с определенной степенью точности описывает поле атома. IMHO это не совсем тавтология.

(Оффтоп)

У меня сложилось мнение, что по логике нашего курса основное внимание в этой теме было уделено именно процессу взаимодействия шальной частицы с ядром, а не атомом в целом. Немного странно, но уже дальше по конспекту вкратце рассматривается другая сторона вопроса, - рассеяние заряженных частиц на атомных электронах Кажется, меня ждет первая 4 по не гуманитарному предмету...

-- 14.06.2015, 23:12 --

Кстати, в лекции про рассеяние на свободных электронах без док-ва был приведен такой факт, что детекторы могут регистрировать не только рассеянные электроны из падающего на атом пучка, но и электроны самого атома-мишени. Разве это так и если да, то при каких параметрах задачи это возможно?

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

У меня сложилось мнение, что по логике нашего курса основное внимание в этой теме было уделено именно процессу взаимодействия шальной частицы с ядром, а не атомом в целом.

Не очень понятно, а в чём разница между "атомом в целом", и "ядром, с учётом экранировки электронами". Мне представляется, что это ровно одно и то же.

Правда, если налетающая частица - сама электрон, то она ещё и взаимодействует с электронами через запрет Паули. Но для высоких энергий этим можно пренебречь, я думаю.

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

Кажется, меня ждет первая 4 по не гуманитарному предмету...

А что, уже сдавать? А проконсультироваться уже некогда?

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

стати, в лекции про рассеяние на свободных электронах без док-ва был приведен такой факт, что детекторы могут регистрировать не только рассеянные электроны из падающего на атом пучка, но и электроны самого атома-мишени. Разве это так и если да, то при каких параметрах задачи это возможно?

Я так понимаю, что это в случае, если электроны выбиваются из атомов. Это возможно, если при рассеянии падающего электрона на электроне атома, второму передали достаточную энергию, чтобы выбить из атома. При больших энергиях - должно быть довольно часто.

Кстати, ещё вопрос, а протолкается ли падающий электрон к ядру сквозь электроны атома... не растеряет ли энергию на столкновениях с ними... впрочем, это, наверное, решается количеством квантов действия, которые он может затратить. Какие-нибудь инфракрасные поправки к основному вкладу.

-- 15.06.2015 00:38:50 --

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

В квантовой механике мультипольные моменты атома рассматриваются в ЛЛ3 (г.в.1989) параграф 75.

А-а-а, там операторы мультипольных моментов!!!

-- 15.06.2015 00:52:49 --

§ 75... Очень заскорузли у меня мозги, не лезет в меня эта премудрость что-то... с первого прочтения, по крайней мере.

[Kirill_Sal]

Munin
Консультация сегодня будет

Munin в сообщении #1027132 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1027107 писал(а):

стати, в лекции про рассеяние на свободных электронах без док-ва был приведен такой факт, что детекторы могут регистрировать не только рассеянные электроны из падающего на атом пучка, но и электроны самого атома-мишени. Разве это так и если да, то при каких параметрах задачи это возможно?

Я так понимаю, что это в случае, если электроны выбиваются из атомов. Это возможно, если при рассеянии падающего электрона на электроне атома, второму передали достаточную энергию, чтобы выбить из атома. При больших энергиях - должно быть довольно часто.

Кстати, ещё вопрос, а протолкается ли падающий электрон к ядру сквозь электроны атома... не растеряет ли энергию на столкновениях с ними... впрочем, это, наверное, решается количеством квантов действия, которые он может затратить. Какие-нибудь инфракрасные поправки к основному вкладу.

Да, в принципе логично. Просто никогда не читал про ионизацию атома электронами. Впрочем, нам достаточно знать только факт без док-ва.
По поводу проталкивания к ядру: тут IMHO хорошенько считать надо. Думаю, что надо смотреть на соотношения энергии падающей частицы и двух параметров: заряд ядра $Z$ и средняя энергия связи атомных электронов. Для тяжелых атомов (я думаю, они тут и интересны) эффективное сечение торможения на электронах можно вычислять квазиклассически до не слишком малых расстояний от ядра (скорее всего даже, именно тот параметр $a_{2}$). Это приблизительная схема решения, которая мне приходит в голову, но только вот что Вы понимаете под фразой "протолкнется к ядру"?

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1027146 писал(а):

Просто никогда не читал про ионизацию атома электронами.

Да хотя бы эффект Комптона. Просто в нём обращают внимание на вылетающий электрон, а не на остающийся сиротливый ион.

(Тьфу, там рентгеном... ну вы меня поняли. Ионизировать можно чем попало, хоть молотком.)

Kirill_Sal в сообщении #1027146 писал(а):

но только вот что Вы понимаете под фразой "протолкнется к ядру"?

А ч-чёрт его знает, сдуру ляпнул... Ну ясное дело, что если она по ходу приближения к ядру испытает $n\gg 1$ актов рассеяния, то может оказаться в области $r\sim a_2$ уже с сильно не теми энергией и импульсом, с которыми принималась за дело. Более того, может растерять свой импульс настолько, что её $\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda=\hbar/p\gtrsim a_2,$ и в эту область она уже по соотношению неопределённости "не помещается"... впрочем, это вряд ли, ведь до этого ей надо много электронов встретить, а они как раз в области $r\sim a_2$ и тусуются.

Kirill_Sal в сообщении #1027146 писал(а):

По поводу проталкивания к ядру: тут IMHO хорошенько считать надо. Думаю, что надо смотреть на соотношения энергии падающей частицы и двух параметров: заряд ядра $Z$ и средняя энергия связи атомных электронов.

Да, +1 к "хорошенько считать" и к тому, что дело может происходить в разных режимах. Но указанные вами "два параметра" связаны между собой взаимно-однозначно, так что их на самом деле не два. Надо думать дальше.

[Kirill_Sal]

Munin
Интересная задача на самом деле. Я ее с ходу не понимаю, а про длину волны и вовсе забыл. Я бы подумал после экзамена. Вопрос на самом деле именно в том, имеет ли она смысл: если не имеет, то у нас просто хорошая задача на понимание основ КМ; если смысл имеет, то из нее IMHO выйдет неплохое обсуждение.
Я думаю, что с точки зрения КЭД ее точно можно сделать осмысленной.

[Munin]

Ой, КЭД здесь страшное усложнение. Предлагаю использовать КЭД только идеологически: рассмотреть процесс как ряд теории возмущений, где элементарные процессы - скажем, рассеяния на электронах, на ядре, и свободные пропагаторы в промежутке (шрёдингеровские).

[Kirill_Sal]

Munin
Я и имел ввиду, что она нужна для только для того, чтобы сделать задачу осмысленной и получить заодно ограничение "снизу".