Поглощение излучения в стоячей волне

[spaar]

Вроде бы простой случай линейного поглощения, но возникло непонимание.

Пусть $\alpha$ -- натуральный показатель поглощения, т.е. интенсивность $I(z)$ плоской монохроматической э/м волны, распространяющейся вдоль $z$, описывается уравнением

$$\dfrac{dI}{dz} = - \alpha I.$$

При этом величина $\alpha I$ равна мощности, поглощаемой в единице объёма, верно?
Пусть поглощение на участке $z \in [0, L]$ не однородно, а задаётся выражением

$$\alpha(z) = \alpha_0 \sin^2\left(\dfrac{m \pi z}{L}\right), \quad m \in \mathbb{N}.$$

Вычислим $\Delta I$ -- долю интенсивности, поглощаемой на данном участке для волны с исходной интенсивностью $I(0) = I_0$. Предположим при этом, что показатель поглощения очень мал, т.е. $\Delta I << I_0$.

$$\Delta I = \int\limits_0^L \alpha I dz \simeq \alpha_0 I_0 \int\limits_0^L \sin^2\left(\dfrac{m \pi z}{L}\right) dz = \dfrac12 \alpha_0 I_0 L.$$

Если выделить некоторую площадь $A$ в плоскости, перпендикулярной $z$, то мощность, поглощаемая средой в объёме $AL$, равна $A \Delta I$.

Теперь предположим, что на всё том же $z \in [0, L]$ имеются две встречные волны равной интенсивности $I_0$ (аки в плоском резонаторе). Сумма этих волн образует стоячую волну с тем же периодом, что и у $\alpha(z)$, а фазовое соотношение таково, что итоговая интенсивность (с учётом приближения $\Delta I << I_0$)

$$I_S = 4 I_0 \sin^2\left(\dfrac{m \pi z}{L}\right).$$

При этом поглощаемую в объёме $AL$ мощность (назовём её $P_A$) считать надо вроде бы так:

$$P_A = A \int \limits_0^L \alpha I_S dz = A \alpha_0 4 I_0 \int\limits_0^L \sin^4\left(\dfrac{m \pi z}{L}\right) = \dfrac32 A \alpha_0 I_0 L.$$

Казалось бы, $P_A$ должно быть равно $2A\Delta I$ (при однородном поглощении так и получается), но первая величина получилась в полтора раза больше. Более того, если сдвинуть по фазе относительно друг друга поглощение и стоячую волну (например, заменить один из $\sin^2$ на $\cos^2$), то на результат первого интегрирования это не повлияет, тогда как второй интеграл уменьшится. В чём ошибка?

[amon]

spaar в сообщении #1023037 писал(а):

Сумма этих волн образует стоячую волну с тем же периодом, что и у $\alpha(z)$

По-моему, здесь и ошибка. Закон Бугера - крутая геометрическая оптика, и на неоднородностях размером с длину волны он точно не работает. В этом случае надо точно решать волновое уравнение, причем синусоидальные плоские волны перестанут быть частными решениями.

[Munin]

По-моему, даже с одной падающей волной, и подобной неоднородностью поглощения, возникает диф. решётка, и надо считать отражение от неё.

[spaar]

Много думал

Волновое уравнение для амплитуды напряжённости $E(z)$:

$$ \frac{\partial^2 E(z)}{\partial z^2} + (n + i \kappa(z))^2 \frac{\omega^2}{c^2} E(z) = 0, $$

где $\kappa(z)$ -- мнимая часть показателя преломления.

Если, как в первом посте, полагать

$$ \alpha(z) = \alpha_0 \sin^2 (pz) = -\frac{\alpha_0}{2} (1 - \cos(2pz)), \quad p = \frac{m\pi}{L}; $$

то после интегрирования $dI/dz = -\alpha I$ для интенсивности получается такая зависимость от $z$:

$$ I(z) = I_0 e^{-\frac{\alpha_0}{2} (z - \sin(2pz)/2p)}. $$

Бегущая волна с такой зависимостью $I(z)$ должна иметь амплитуду

$$ E(z) = E_0 e^{-\frac{\alpha_0}{4} (z - \sin(2pz)/p)} e^{ikz}. $$

И такая волна является решением приведённого волнового уравнения при $\kappa(z) = \dfrac{n}{2k}\alpha$!

По-моему, хитрость в другом. Несмотря на линейность поглощения, нельзя разложить поле на плоские волны, посчитать поглощение для каждой из них (как бы в отсутствие прочих), а потом поглощения сложить.
Гораздо более простой пример. Для какой-то волны $E_1(z, t)$ можно посчитать поглощаемую мощность в некотором слое поглощающей (пусть даже однородно) среды. Для волны $E_2(z, t) = - E_1(z, t)$ результат будет тот же. Однако, если сложить амплитуды, будет ноль, тогда как сложение поглощаемых мощностей ноль, конечно, не даст.
Вопрос возник в связи с расчётом поля в нелинейно поглощающем плоском резонаторе. С одной стороны, в резонаторе стоячая волна. С другой, в некоторых полезных формулах фигурирует такая величина, как "потери на проходе". Я теперь не понимаю, как правильно эти потери на проходе в среде с неоднородным поглощением считать.

[amon]

spaar в сообщении #1025787 писал(а):

$$ E(z) = E_0 e^{-\frac{\alpha_0}{4} (z - \sin(2pz)/p)} e^{ikz}. $$

А Вы это выражение сюда

$$ \frac{\partial^2 E(z)}{\partial z^2} + (n + i \kappa(z))^2 \frac{\omega^2}{c^2} E(z) = 0 $$

подставить не пробовали?

[spaar]

Пробовал! Потому и написал:

spaar в сообщении #1025787 писал(а):

И такая волна является решением приведённого волнового уравнения при $\kappa(z) = \dfrac{n}{2k}\alpha$!

Добавление: а подставил, похоже, неправильно. Буду проверять...

[amon]

Во-первых, $\frac{d^2}{dz^2}e^{-\frac{1}{4} a \left(z-\frac{\sin (2 p z)}{p}\right)+i k z} =e^{-\frac{1}{4} a \left(z-\frac{\sin (2 p z)}{p}\right)+i k z} \left(-a p \sin (2 p z)+\left(-\frac{1}{4} a (1-2 \cos (2 p z))+i k\right)^2\right),$ а во-вторых,
$\frac{ \alpha_0 \sin^2 (pz)}{k}$ Вас не смущает?
У Вас написано уравнение вида $y''+(a+b\sin(x))y=0$. Неужели экспоненты будут его решениями, и о чем тогда думал Матье?

[spaar]

Да, спасибо, я это уже сам увидел и написал выше, что неправильно подставил. Если потерять $ap\sin(2pz)$, то всё хорошо получается
А почему должно во-вторых смущать $\frac{ \alpha_0 \sin^2 (pz)}{k}$?

Тем не менее, что можете сказать об этом:

spaar в сообщении #1025787 писал(а):

Гораздо более простой пример. Для какой-то волны $E_1(z, t)$ можно посчитать поглощаемую мощность в некотором слое поглощающей (пусть даже однородно) среды. Для волны $E_2(z, t) = - E_1(z, t)$ результат будет тот же. Однако, если сложить амплитуды, будет ноль, тогда как сложение поглощаемых мощностей ноль, конечно, не даст.

?

[amon]

spaar в сообщении #1025872 писал(а):

А почему должно во-вторых смущать $\frac{ \alpha_0 \sin^2 (pz)}{k}$?

Подставить $\exp(ikx)$ это тоже самое, что взять преобразование Фурье от уравнения. Иксов ответе не должно остаться, только $k$.

spaar в сообщении #1025872 писал(а):

можно посчитать поглощаемую мощность в некотором слое

amon в сообщении #1023042 писал(а):

Закон Бугера - крутая геометрическая оптика

Разъяснения начал писать, но длинно получается и бестолково. Поэтому отпишусь позже без спешки. В двух словах: в уравнениях Максвелла фотоны вечные. Что бы был Бугер они должны исчезать, значит Бугер - следствие взаимодействия со средой и чистыми уравнениями Максвелла не описывается, значит и засунуть константу $\alpha_0$ в показатель преломления по-простому не получится.

[amon]

spaar в сообщении #1025787 писал(а):

Гораздо более простой пример. Для какой-то волны $E_1(z, t)$ можно посчитать поглощаемую мощность в некотором слое поглощающей (пусть даже однородно) среды. Для волны $E_2(z, t) = - E_1(z, t)$ результат будет тот же. Однако, если сложить амплитуды, будет ноль, тогда как сложение поглощаемых мощностей ноль, конечно, не даст.

Чего-то я совсем старый стал. Если сложить амплитуды как Вы хотите, то получится ноль интенсивности, а ноль как ни поглощай, он нулем и останется.

[spaar]

amon в сообщении #1025886 писал(а):

Подставить $\exp(ikx)$ это тоже самое, что взять преобразование Фурье от уравнения. Иксов ответе не должно остаться, только $k$.

Этого я совсем не понял. Именно такой ответ для $\kappa$, т.е. пропорциональность $\alpha$, я и хотел получить, но, как выяснилось, он не получается.

amon в сообщении #1025886 писал(а):

В двух словах: в уравнениях Максвелла фотоны вечные. Что бы был Бугер они должны исчезать, значит Бугер - следствие взаимодействия со средой и чистыми уравнениями Максвелла не описывается, значит и засунуть константу $\alpha_0$ в показатель преломления по-простому не получится.

Но ведь она именно так и засовывается! Закон Бугера -- результат решения волнового уравнения при постоянном комплексном показателе преломления.

amon в сообщении #1026103 писал(а):

Если сложить амплитуды как Вы хотите, то получится ноль интенсивности, а ноль как ни поглощай, он нулем и останется.

Да, но если посчитать поглощаемую интенсивность отдельно для $E_1$, отдельно для $E_2$ (будут равны), то складывать их, чтобы получить поглощаемую интенсивность для $E_1+E_2$, нельзя. Это то же самое, что итоговая интенсивность не равна сумме интенсивностей (интерференция). В отношении линейного поглощения мне это почему-то было не очевидно.
Известно, что при интерференции общая (интегральная по объёму или плоскости) мощность равна сумме мощностей отдельных волн, но перераспределена в пространстве. И если в среде с неоднородным (но линейным) поглощением это перераспределение таково, что максимумы интенсивности совпадают с максимумами поглощения, то общее поглощение будет больше, чем в случае их несовпадения. И это практически ответ на мой исходный пост...

[amon]

spaar в сообщении #1026213 писал(а):

Закон Бугера -- результат решения волнового уравнения при постоянном комплексном показателе преломления.

Не-а! Хотя бы потому, что волновое уравнение пишется на амплитуду, а Бугер - на интенсивность (квадрат амплитуды). Поэтому это:

spaar в сообщении #1026213 писал(а):

Закон Бугера -- результат решения волнового уравнения при постоянном комплексном показателе преломления.

неверно. Закон Бугера - это то, что получится, если какие-то частички летят через среду со случайно расставленными поглотителями, и такой процесс плохо описывается волновым уравнением. Например, в металле жутко комплексная диэлектрическая проницаемость, но свет от него отражается почти без поглощения. Экспоненциальный хвост излучения вглубь металла энергию не переносит, и там ничего не поглощается.

spaar в сообщении #1026213 писал(а):

посчитать поглощаемую интенсивность отдельно для $E_1$, отдельно для $E_2$

Этого делать нельзя, так как $dI/dz = -\alpha I$ написано для интенсивности, а не для амплитуды. Поэтому надо сначала сложить амплитуды и получить ноль.