Конечно-разностная аппроксимация оператора Гамильтона

[Anastasiya_92]

Итак, я взяла уравнение Шрёдингера $\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+E\Psi(x)=0$ для частицы в потенциальной яме ширины 1(то есть рассматриваю случай, где потенциальная энергия равна 0). Хочу найти собственные значения и собственные функции для оператора Гамильтона.
Сначала я взяла одномерный случай (когда оператор Гамильтона просто вырожается в дифференциальный оператор)
Использую центрально-разностную аппроксимацию:
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Psi_{n-1}-2\Psi_n+\Psi_{n+1}}{h^2}=E\Psi_n$
Составляю матрицу оператора:
$\begin{pmatrix} \frac{1}{h^2} & -\frac{1}{2h^2} & 0 & \cdots & 0 \\ -\frac{1}{2h^2} & \frac{1}{h^2} & -\frac{1}{2h^2}&\cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 0 & \cdots &0 & -\frac{1}{2h^2}&\frac{1}{h^2} \end{pmatrix}$
На самом деле эту матрицу мне дал преподаватель, но не суть, я понимаю как она составляется.
Точное решение для дифференциального оператора - $E_n=\frac{\pi^2n^2}{2}$
Обсчитав эту матрицу я попадаю в это самое точное решение.

Теперь мне нужно сделать тоже самое, но для двумерного оператора Гамильтона (ну или просто для двумерного дифферециального оператора).

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Psi_{i-1,j}-4\Psi_{i,j}+\Psi_{i+1,j}+\Psi_{i,j-1}+\Psi_{i,j+1}}{2h^2}=E\Psi_n$
Верна ли эта аппроксимация?

Тогда матрица будет иметь вид (пример для матрицы 9х9)
$\begin{pmatrix} 1 & -0.25 & 0 & -0.25 & 0& 0& 0& 0& 0 \\ -0.25 & 1 & -0.25 & 0 & -0.25& 0& 0& 0& 0 \\ 0 & -0.25 & 1 & -0.25 & 0& -0.25& 0& 0& 0 \\ -0.25 & 0& 0 & 1 & -0.25& 0& -0.25& 0& 0\\ 0 & -0.25 & 0 & -0.25 & 1& -0.25& 0& -0.25& 0\\ 0 & 0& -0.25 & 0 & -0.25 & 1& -0.25& 0& -0.25\\ 0 &0&0 &-0.25 & 0 &0& 1& -0.25& 0\\ 0 &0&0&0 &-0.25 & 0 &-0.25& 1& -0.25\\ 0 &0&0&0&0& -0.25 & 0 &-0.25& 1\\ \end{pmatrix}$

В этом виде я не уверена...
Вот первые 5 собственных значений, которые я получила сгенерировав таким же образом и прогнав через QR матрицу 100х100:
0.0374
0.0967
0.1152
0.1641
0.1753

Похоже ли это на правду? Какое точное решение для двумерного дифференциального оператора?

[amon]

Anastasiya_92 в сообщении #1025799 писал(а):

Какое точное решение для двумерного дифференциального оператора?

Ищем (гуглим) "метод разделения переменных".