Осцилляции в решении ОДУ численным методом

[Freude]

Хотел сначала написать в комп. раздел. Я решаю систему ОДУ методом Рунге-Кутта 4го порядка. Решение себя ведет довольно странно. Гладкая кривая при больших значениях аргумента начинает быстро осциллировать. Решение как бы является суммой ожидаемого решения и какой-то синусоиды, амплитуда которой растет с ростом аргумента. Период синусоиды не равен шагу сетки, он на порядок больше. Сетка довольно густая. Как с этим бороться? Что можно почитать?

[Gafield]

Ну, первое, что приходит в голову, если "ожидаемое" решение имеет вид, скажем, $\cos(x)$, а общее - $C_1 \cos(x)+C_2 x \sin(x)$, то маленькие погрешности в начале могут дать заметное при больших временах второе слагаемое.

[Zai]

Freude писал(а):

Период синусоиды не равен шагу сетки, он на порядок больше. Сетка довольно густая. Как с этим бороться? Что можно почитать?

Если Вы сами писали Рунге-Кутта, то процедуру необходимо протестировать на линейном гармоническом осцилляторе и убедиться, что до времени в несколько десятков периодов амплитуда и фаза совпадают с теоретическим решением.

Если У Вас шаг по времени много меньше отмеченной Вами осцилляции, то Ваши уравнения содержат колебательную часть и ее нужно дополнительно исследовать. В нелинейных колебаниях нередко встречаются колебательные процессы, проявляющиеся не сразу, а при определенном сочетании параметров. Попробуйте линеаризовать Вашу систему уравнений и аналитически выделить хотя бы собственную частоту.

[V.V.]

А может решение так и должно себя вести?

Систему в студию!

[Freude]

Спасибо за дельные советы. Метод действительно я сам писал. Как и советовал Zai, опробовал его на гармоническом осцилляторе - работает нормально. Приводить систему не хочу в виду ее громоздкости (200 уравнений все-таки и не все из них однотипные). В ходе численных экспериментов заметил, что осцилляции исчезают при увеличении шага сетки по времени. До сих пор не пойму что это такое. Самое обидное, что я думал, что сетка достаточно густая - 900 тыс. узлов! А нет, теперь довел ее до млн.

[Zai]

Freude писал(а):

В ходе численных экспериментов заметил, что осцилляции исчезают при увеличении шага сетки по времени.

Для шага по времени существует ограничение по минимальному значению. Причин этому может быть несколько. Одна из них следующая.
Пусть уравнение имеет вид:
$ \dot x =1.0
$x(0)=1.0
Интегрируем явно
$x(t+ \Delta t)=x(t)+1.0*\Delta t
Мантисса представления числа с плавающей точкой на компьютере при двойной точности ограничена 16 значащими цифрами. При шаге меньшем $10^{-16} у Вас
численное решение не будет изменяться.

[Freude]

Это не причина. Всегда можно увеличить точность, используя дополнительную память. Другими словами, густая сетка может свидетельствовать не о большой точности, а о том, что отрезок, на котором происходит интегрирование уравнений, очень большой (мы рассматриваем большой временной интервал). Какое ограничение обычно на числа сверху? Т.е. какое самое большое число может обработать машина?