Травление лунки с плоским дном

[tass]

При анализе работы установки ионного травления я наткнулся на математическую проблему, с которой никак не могу разобраться. Ниже - формулировка задачи и мои соображения.

Физика

Есть установка ионного травления. С её помощью нужно получить лунку с максимально плоским дном. Если поставить образец перпендикулярно пучку, вытравится лунка с профилем $f(x_1,y_1)=\exp\left(-(x_1^2+y_1^2)/\sigma^2\right) , где \sigma - полуширина пучка на уровне 1/e. Выполним замену переменных $x=x_1/\sigma, y=y_1/\sigma$ и в дальнейшем будем полагать что все координаты и пространственные измерения являются безразмерными, или, что то же самое, выраженными в единицах полуширины пучка. Имевшаяся установка модернизирована - образец наклонён на угол $\phi_0=\pi/6$ и может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к его поверхности. Кроме того, можно подавать управляющее напряжение, смещающее пучок на заданное расстояние $x_0$. С учётом вышесказанного профиль ямки, вытравленной в неподвижном образце выглядит так: $f(x,y,x_0)=\exp\left(-\left{(x-x_0)^2+(y*\sin\phi_0)\right}\right)$. При вращении образца травится осесимметричная лунка, профиль которой определяется следующим выражением:

$$ I(\rho,x_0,V)=V\cdot\int\limits_{0}^{2\pi} d\phi f(\rho\cdot\cos\phi,\rho\cdot\cos\phi,x_0) $$

где $\rho$ - расстояние от оси вращения,
$V$ - "сила" сеанса травления, в основном определяется временем, в течение которого проходило травление. Нужно найти закон, по которому x_0 нужно менять в течение сеанса травления чтобы получить лунку с наиболее гладким дном радиуса $A$ . Или, что то же самое, найти весовую функцию $v(x_0)$, такую что

$$ I_f(\rho)=\int\limits_0^A dx_0 I(\rho,x_0)\cdot v(x_0) $$

будет как можно более гладкой функцией.
Что такое "гладкая"? Есть два аспекта. Амплитуда неровностей и наклон. Доказать не смогу, но, кажется, если мы будем уменьшать наклон поверхности, т.е. модуль производной, то при наших непрерывных дифференцируемых функциях амплитуда будет минимальной автоматически. Итого, нужно минимизировать
$\int\limits_0^Ad\rho \left(\frac{dI_f(\rho)}{d\rho}\right)^2 при условии
$v(x_0)\geqslant 0$, $\int\limits_0^A dx_0 v(x_0)=1$

Математика
Итак, поставлена следующая задача. Необходимо найти функцию $v(x_0)$, такую что выполняются следующие условия:
$\int\limits_0^A d\rho \left(\int\limits_0^A dx_0 v(x_0) \int\limits_0^{2\pi} d\phi \frac d{d\rho}\exp \left(-\left\right(\rho\cos\phi-x_0)^2-(\rho\sin\phi\sin\phi_0)^2\right)\right)^2 \to \min $
$\int\limits_0^Adx_0v(x_0)=1$
$\forall x_0: x_0 \subset [0,A] \Rightarrow v(x_0)\geqslant0$

От попыток решить аналитически я отказался сразу. Из численных методов были предприняты две наивные попытки. Первая - составить матрицу из значений I(\rho,x_0), а затем решить уравнение Ax=y, где y - вектор из единичек. Вторая - составить матрицу значений производных и найти собственный вектор, соответствующий наименьшему по модулю собственному значению. Обе попытки успеха не принесли, так как решением этих задач являются знакопеременные вектора.

Следующим шагом было использование функции матлаба, в которую удалось запихнуть все условия. Был получен удивительный результат - оказалось что весовая функция почти везде равна нулю. Физически это означает что пучок во время травления должен двигаться не непрерывно, а скачками. Иначе говоря, сеанс травления должен состоять из нескольких экспозиций разной длительности при разных значениях отклоняющего напряжения. Провели эксперимент, профиль совпал с расчётным. То есть, с практической точки зрения, задача решена.

Остались вопросы. В чём причина дискретности решения? Нельзя ли решить эту задачу проще, уж больно проста структура полученного решения?

Я выложил не весь материал. Дополню, если кто заинтересуется этой темой.

Спасибо В.В. - обнаружил опечатку. В двух местах перепутал $\rho$ и x, исправлено.