Количество решений уравнения в натуральных числах

[DiMath]

Доброго времени суток.
Пусть $X_1,...,X_k \subseteq \mathbb{N}$. Рассмотрим уравнение $n_1+n_2+...+n_k=N$, где $n_i\in X_i$.
Кто-нибудь знает какие нужно выбрать $X_1,...,X_k$, чтобы для количества решений данного уравнения выполнялось соотношение $J_k(N)>>\frac{e^{kN}}{k\ln(N)}$? Хотя бы природу этих множеств..
К примеру, число решений $J(N)$ уравнения $p_1+p_2+p_3=N$ (то есть количество представлений натурального числа суммой трех простых) равно
$\sigma(N)\frac{N^2}{2\ln^3(N)}+O(\frac{N^2}{\ln^4(N)})$, где

$\sigma(N)=\prod\limits_{p|N}^{}(1-\frac{1}{(p-1)^2}) \prod\limits_{N\ne0\mod(p)}^{}(1+\frac{1}{(p-1)^3})$. В частности, если N нечетно, то $\sigma(N)>1$, что позволило Виноградову решить тернарную проблему Гольдбаха для всех достаточно больших N.
Спасибо.

[Sonic86]

А что будет, если все $X_j=\mathbb{N}$? Если так, то скорость будет такая-то. Значит то, чего Вы ищете . . .