Определение равномерной сходимости

[fronnya]

Интеграл $\int\limits_a^{+\infty}f(x,y)dx$ называется равномерно сходящимся по параметру $y\in [c,d]$, если

$$\forall \varepsilon >0 \exists\delta=\delta(\varepsilon):\forall A >\delta \forall y\in[c,d] \Rightarrow \left|\int\limits_A^{+\infty} f(x,y)dx\right|<\varepsilon$$

Как пользоваться определениями подобного рода (по Коши) ? Я не понимаю, как составить неравенство, что это за $\delta$..

[demolishka]

А что такое равномерная сходимость функционального ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(y)$ знаете?

[iifat]

С какого именно места? Я вам даю $\varepsilon$; если вы можете указать некое $\delta$, такое что... ну, и так далее — значит, интеграл сходится равномерно. Формула не сложнее тысячи других. Если вы учебник читаете, уверен, там где-нибудь дальше даются примеры как равномерно, так и неравномерно сходящихся интегралов.

[ewert]

fronnya в сообщении #1023609 писал(а):

что это за $\delta$

Это по рассеянности; имелась в виду, конечно, $M$. И если уж говорить про оформление, то стрелочка там совершенно неуместна (хотя многие и любят).

Если же по существу, то неравенство составлять не нужно -- оно уже есть, и надо просто решить его относительно переменной $A$. Точнее, не его само (это в содержательных случаях сделать в явном виде невозможно), а какое-нибудь огрублённое. Т.е. подобрать для $A$ некую оценку снизу, из которой требуемое неравенство следовало бы. Если это удастся сделать, и если полученная граница будет зависеть только от эпсилона, но не от игрека, то это и будет равномерная сходимость.

[fronnya]

iifat в сообщении #1023637 писал(а):

С какого именно места? Я вам даю $\varepsilon$; если вы можете указать некое $\delta$, такое что...

оно-то вроде и понятно, но как этим пользоваться- тупик. Какое $\varepsilon$ брать и т.д.

-- 05.06.2015, 13:18 --

demolishka в сообщении #1023634 писал(а):

А что такое равномерная сходимость функционального ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(y)$ знаете?

Нет, пока не знаю

-- 05.06.2015, 13:19 --

ewert в сообщении #1023640 писал(а):

fronnya в сообщении #1023609 писал(а):

что это за $\delta$

Это по рассеянности; имелась в виду, конечно, $M$.
Не понял, а какая разница $\delta$ или $M$?

[demolishka]

fronnya в сообщении #1023643 писал(а):

Нет, пока не знаю

Ну раз не знаете (что довольно странно), то вчитывайтесь в то, что написал ewert.

fronnya в сообщении #1023643 писал(а):

Не понял, а какая разница $\delta$ или $M$?

Принято символом $\delta$ обозначать достаточно(или по существу) маленькие величины, а заглавными латинскими - достаточно(или по существу) большие. Конечно сути формулы это не меняет, зато ускоряет понимание определений и доказательств.

[iifat]

fronnya в сообщении #1023643 писал(а):

Какое $\varepsilon$ брать

Какое, какое... Какое я дам, такое и брать.
Вы ж до несобственных интегралов должны были изучать теорию пределов, к примеру. Что, там аналогичные формулировки вопросов не вызывали? Вы их, возможно, проскочили, не обдумав как следует. Мож, вернуться и повторить?

[fronnya]

ewert в сообщении #1023640 писал(а):

fronnya в сообщении #1023609 писал(а):

что это за $\delta$

Если же по существу, то неравенство составлять не нужно -- оно уже есть, и надо просто решить его относительно переменной $A$. Точнее, не его само (это в содержательных случаях сделать в явном виде невозможно), а какое-нибудь огрублённое. Т.е. подобрать для $A$ некую оценку снизу, из которой требуемое неравенство следовало бы. Если это удастся сделать, и если полученная граница будет зависеть только от эпсилона, но не от игрека, то это и будет равномерная сходимость.

т.е., мне нужно вычислить интеграл, оценить снизу и решить неравенство относительно $A$?

-- 05.06.2015, 13:42 --

iifat в сообщении #1023648 писал(а):

Вы ж до несобственных интегралов должны были изучать теорию пределов, к примеру. Что, там аналогичные формулировки вопросов не вызывали? Вы их, возможно, проскочили, не обдумав как следует. Мож, вернуться и повторить?

Ага, я и тогда определение предела по Коши не понял и упорно не понимал весь семестр, сколько мне ни объясняли, я не знал, че с ним делать.

[iifat]

fronnya в сообщении #1023650 писал(а):

я и тогда определение предела по Коши не понял

Лучше таки вернуться и понять, имхо. Оно несколько (совсем чуть-чуть) попроще.

[demolishka]

fronnya в сообщении #1023650 писал(а):

вычислить интеграл

Почти все интегралы являются "неберущимися". Так что Ваша стратегия не работает.

fronnya в сообщении #1023650 писал(а):

Ага, я и тогда определение предела по Коши не понял и упорно не понимал весь семестр, сколько мне ни объясняли, я не знал, че с ним делать.

А теперь Вы хотите сделать сальто, просидев до этого 10 лет на стуле.

[ewert]

fronnya в сообщении #1023650 писал(а):

т.е., мне нужно вычислить интеграл, оценить снизу

Верно с точностью до дважды наоборот: оценить сверху и получившийся интеграл вычислить.

[fronnya]

iifat в сообщении #1023653 писал(а):

fronnya в сообщении #1023650 писал(а):

я и тогда определение предела по Коши не понял

Лучше таки вернуться и понять, имхо. Оно несколько (совсем чуть-чуть) попроще.

Я даже его помню, вроде как:

$$\forall \varepsilon >0 \exists\delta=\delta (\varepsilon) :\forall x: 0<(x-a)<\delta \Rightarrow\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon$$

[iifat]

Не сомневаюсь. Только не $0\lt x-a\lt\delta$, а $|x-a|\lt\delta$. Теперь бы ещё понять и прочувствовать.