Разность чисел с одинаковой степенью

[Braga]

Добрый вечер.
Подскажите, где можно глянуть доказательство утверждения
$a^r-b^r=(a-b)(a^{r-1}+a^{r-2}b+...+b^{r-1})$ для любого действительного и комплексного $r$?

[ИСН]

Каков смысл выражения с многоточием при нецелом $r$?

[2old]

Пусть у нас есть два алфавита:
$\{1,\dots,a\}$, $\{1,\dots,b\}$
Тогда $a^r$ слова длинной $r$ из первого алфавита, $b^r$ слова длинной $r$из второго. Тогда $a^{r}-b^{r}$ это такие слова, в которых хотя бы один из цифр больше $b$. Теперь эти слова нужно пересчитать более занудно, используя правую часть.

[Braga]

ИСН в сообщении #1023436 писал(а):

Каков смысл выражения с многоточием при нецелом $r$?

Никакого, по привычке написал Просто многоточие без концовки

-- 04.06.2015, 21:45 --

2old в сообщении #1023439 писал(а):

Пусть у нас есть два алфавита:
$\{1,\dots,a\}$, $\{1,\dots,b\}$
Тогда $a^r$ слова длинной $r$ из первого алфавита, $b^r$ слова длинной $r$из второго. Тогда $a^{r}-b^{r}$ это такие слова, в которых хотя бы один из цифр больше $b$. Теперь эти слова нужно пересчитать более занудно, используя правую часть.

Что-то я ничего не понял, при чем здесь алфавиты и пересчитывания?

[ИСН]

Ни при чём. (Если, конечно, Вы уже знаете, как доказывать утверждение для целых $r$). Не отвлекайтесь. Так если никакого смысла, то в чём вопрос и что мы хотим доказать?

[Braga]

Для целых действительных это просто индукция. Для нецелых там должен бесконечный ряд, разве нет?

[2old]

(Оффтоп)

Извините, я первый раз как-то смог не заметить" для любого действительного и комплексного"

[NSKuber]

Braga в сообщении #1023446 писал(а):

Для нецелых там должен бесконечный ряд, разве нет?

Braga, так это мы у вас интересуемся, что вам надо-то доказать, если в шапке не то написано. Нам откуда знать?

[Braga]

NSKuber в сообщении #1023451 писал(а):

Braga в сообщении #1023446 писал(а):

Для нецелых там должен бесконечный ряд, разве нет?

Braga, так это мы у вас интересуемся, что вам надо-то доказать, если в шапке не то написано. Нам откуда знать?

Как это не написано? "где можно глянуть доказательство данного утверждения .... для действительного и комплексного $r$". Это подразумевает ссылку/название книги или в двух словах объяснение идеи доказательства.

Предполагал, что это можно как-то с помощью тэйлора, как обобщенный бином ньютона, но как-то не вышло придумать.

-- 04.06.2015, 22:03 --

Хорошо, начнем с того, что я ведь не путаю, что
$x^r-y^r=(x-y)(\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} y^{r-1-i})$?
Вот это я и хочу доказать

[nnosipov]

Braga в сообщении #1023453 писал(а):

Хорошо, начнем с того, что я ведь не путаю, что
$x^r-y^r=(x-y)(\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} y^{r-1-i})$?
Вот это я и хочу доказать

Геометрические прогрессии суммировать умеете?

[ewert]

Braga в сообщении #1023433 писал(а):

где можно глянуть доказательство утверждения
$a^r-b^r=(a-b)(a^{r-1}+a^{r-2}b+...+b^{r-1})$ для любого действительного и комплексного $r$?

А как это доказывается для целых?... -- правильно, тупым раскрытием скобок. Вот та же и птички.

При условии, конечно, что это вообще имеет смысл, т.е. что ряд сходится.