Сходимость интеграла

[fronnya]

Вот такой интеграл

$$\int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+x^9)^{1/3}}$$

Тут у нас две особые точки, так что разбиваем интеграл на сумму двух

$$\int\limits_0^1 \frac{dx}{(x+x^9)^{1/3}}+\int\limits_1^{+\infty} \frac{dx}{(x+x^9)^{1/3}}$$

Второй интеграл из этой суммы сходится, я пытаюсь понять, сходится ли первый, там особая точка нуль и нужно найти эквивалентную функцию в нуле. Но я хочу по-другому поступить, в этом интеграле делаю замену переменной $x=1/t$, тогда она преобразуется

$$\int\limits_1^{+\infty}\frac{d(\frac1t)}{\left(\frac1t+\frac{1}{t^9}\right)^{1/3}}$$

Далее пишу, что $d(\frac1t)=-\frac{dt}{t^2}$ и получаю

$$-\int\limits_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2\left(\frac1t+\frac{1}{t^9}\right)^{1/3}}$$

ну а он тоже сходится. Можно ли так рассуждать ?

[ewert]

fronnya в сообщении #1023356 писал(а):

Можно ли так рассуждать ?

Можно, но весьма неразумно. Достаточно просто прикинуть, кто больше икс или икс в девятой. Даже и эквивалентности не понадобится.

[fronnya]

ewert в сообщении #1023362 писал(а):

fronnya в сообщении #1023356 писал(а):

Можно ли так рассуждать ?

Можно, но весьма неразумно. Достаточно просто прикинуть, кто больше икс или икс в девятой. Даже и эквивалентности не понадобится.

Ааа, вы имеете в виду, найти большую сходящуюся функцию?

[ewert]

Не надо заранее гадать -- бОльшую или меньшую, сходящуюся или расходящуюся. Надо просто оценить сумму с двух сторон одной и той же степенью, а уж с ней что выйдет, то и выйдет.

Но лучше, конечно, заменить всё же на эквивалентную. Это в любом случае надо уметь делать, вот и начинайте привыкать.

[fronnya]

ewert в сообщении #1023368 писал(а):

Не надо заранее гадать -- бОльшую или меньшую, сходящуюся или расходящуюся. Надо просто оценить сумму с двух сторон одной и той же степенью, а уж с ней что выйдет, то и выйдет.

Можете показать, как это делается? А то я чет не понимаю.

[Ms-dos4]

fronnya
Смотрите. В нуле можно пренебречь $\[{x^9}\]$. Ну а на бесконечности пренебречь $\[x\]$. И всё сразу очевидно

[ewert]

Сумма больше, чем большее слагаемое, но меньше, чем удвоенное большее.

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #1023371 писал(а):

fronnya
Смотрите. В нуле можно пренебречь $\[{x^9}\]$. Ну а на бесконечности пренебречь $\[x\]$. И всё сразу очевидно

Пренебрегаем $x^9$, получаем $\frac{1}{x^{1/3}}$ и он сходится, потому что $\int\limits_0^1 \frac{dx}{x^p}$ сходится при $p<1$?

[Ms-dos4]

fronnya
Да. Вы только математикам говорите не "пренебрегаем", а $\[\frac{1}{{\sqrt[3]{{x + {x^9}}}}} \sim \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\]$ при $\[x \to 0\]$. Ну теперь осталось посмотреть, что на бесконечности (там вообще сразу очевидно).

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #1023375 писал(а):

fronnya
Ну теперь осталось посмотреть, что на бесконечности (там вообще сразу очевидно).

Да, на бесконечности понятно, я ведь сразу написал, там сходится.

Ms-dos4 писал(а):

Да. Вы только математикам говорите не "пренебрегаем", а $\[\frac{1}{{\sqrt[3]{{x + {x^9}}}}} \sim \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\]$ при $\[x \to 0\]$.

Понял, я через раз так говорю

[Ms-dos4]

fronnya
Ну да. В результате интеграл сходится

[ewert]

fronnya в сообщении #1023377 писал(а):

на бесконечности понятно, я ведь сразу написал, там сходится.

А чем, собственно, бесконечность отличается от нуля -- с точки зрения именно логики рассуждений?

[fronnya]

ewert в сообщении #1023379 писал(а):

fronnya в сообщении #1023377 писал(а):

на бесконечности понятно, я ведь сразу написал, там сходится.

А чем, собственно, бесконечность отличается от нуля -- с точки зрения именно логики рассуждений?

Да ничем, как-то не додумался сразу, почти не решал ничего на эту тему вообще. Ну да, мог бы и подумать сам.

-- 04.06.2015, 18:16 --

Спасибо всем