Шары в урне

[MMyaf]

В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что последний шар черный.
Собственно вопрос: как посчитать число всех исходов ?

[TOTAL]

MMyaf писал(а):

В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что последний шар черный.
Собственно вопрос: как посчитать число всех исходов ?

Вероятность первому шару быть черным больше, меньше или равна вероятности последнему шару быть черным?

[MMyaf]

TOTAL писал(а):

Вероятность первому шару быть черным больше, меньше или равна вероятности последнему шару быть черным?

равна

[TOTAL]

MMyaf писал(а):

TOTAL писал(а):

Вероятность первому шару быть черным больше, меньше или равна вероятности последнему шару быть черным?

равна

Тогда ответ $\frac{2}{6}$, какие проблемы?

Поправка:
$\frac{2}{6}$ что последний шар белый
$\frac{4}{6}$ что последний шар черный

Вопрос: как люди делают, что в посте маленькими синими буковками написано, когда в пост внесены добавки?

[MMyaf]

TOTAL писал(а):

Тогда ответ $\frac{2}{6}$

Т.е. , если я Вас правильно понял, то

1) Число благоприятных исходов - 2
2) Число всех исходов - 6;

и вместе с этим, я могу привести примеры благоприятных исходов, кол-во которых больше 2:

W W B B B B
W B W B B B
W B B W B B
W B B B W B

, где W - белый шар, B - черный шар. Или я не правильно понимаю?

[PAV]

Число всех (не только благоприятных) исходов - это число способов разместить две буквы W среди шести возможных позиций. Это решает один известный комбинаторный коэффициент.

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

TOTAL имел в виду другое. Эту задачу можно решать, доказав, что вероятность вытянуть шар заданного цвета одинакова для всех номеров вытягиваний. Если этим воспользоваться, то ответ будет $\frac26=\frac13$. Каноническое решение даст такой же ответ, но это не значит, что в нем будет всего 3 исхода и 1 благоприятный. Просто там сократится некоторый общий множитель.

[TOTAL]

MMyaf писал(а):

Или я не правильно понимаю?

Чтобы найти число исходов (всех и благоприятных в том числе), надо договориться о том, что считать исходом. Мне (для ответа о вероятности) удобно было считать исходом номер шара, в который я наугад ткну пальцем. Таких исходов всего 6, из них 2 благоприятных.
Вы можете считать исходом что-то другое и при правильном рассуждении получите тоже правильный ответ.

[antbez]

Только не 2/6, а 4/6=2/3

[MMyaf]

PAV писал(а):

Число всех (не только благоприятных) исходов - это число способов разместить две буквы W среди шести возможных позиций. Это решает один известный комбинаторный коэффициент.

Каноническое решение:

$p=\frac{C^1_2 \times C^1_5}{C^2_5}=\frac{2}{3}$

upd:
Поправка $p=\frac{C^2_5}{C^2_6}=\frac{2}{3}$

PAV писал(а):

TOTAL имел в виду другое. Эту задачу можно решать, доказав, что вероятность вытянуть шар заданного цвета одинакова для всех номеров вытягиваний. Если этим воспользоваться, то ответ будет . Каноническое решение даст такой же ответ, но это не значит, что в нем будет всего 3 исхода и 1 благоприятный. Просто там сократится некоторый общий множитель.

Вероятность вытянуть любой из черных шаров равна $\frac{4}{6}$ следовательно вероятность того, что при вынимании шаров друг за другом последний вынутый шар будет черным =$\frac{4}{6}$. А вероятность того, что при вынимании друг за другом шаров из урны последние два шара будут черными = $\frac{C^2_4}{6}=\frac{1}{2}$.

PAV, TOTAL, antbez спасибо большое.

[TOTAL]

MMyaf писал(а):

А вероятность того, что при вынимании друг за другом шаров из урны последние два шара будут черными = $\frac{C^2_4}{6}=\frac{1}{2}$.

Про вероятность последних двух черных подумайте еще.

[Архипов]

MMyaf писал(а):

В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что последний шар черный.

Не стоило, наверное, усложнять решение.
У черного щара есть четыре шанса из шести быть вынутым для любого одиночного акта, потому вероятность этого события 4/6.
Для двух последних черных - 4*3/(6*5).

[PAV]

MMyaf писал(а):

Каноническое решение:

$p=\frac{C^1_2 \times C^1_5}{C^2_5}=\frac{2}{3}$

Я не понимаю ни числителя, ни знаменателя этой дроби. Не говоря уже о том, что равенство неверное. В знаменателе стоит 10 и после сокращений там 3 получиться не может. Начнем со знаменателя. Что там посчитано?

Добавлено спустя 41 секунду:

Архипов писал(а):

У черного щара есть четыре шанса из шести быть вынутым для любого одиночного акта

Это, конечно, правильно, но требует доказательства.

[MMyaf]

PAV писал(а):

MMyaf писал(а):

Каноническое решение:

$p=\frac{C^1_2 \times C^1_5}{C^2_5}=\frac{2}{3}$

Я не понимаю ни числителя, ни знаменателя этой дроби. Не говоря уже о том, что равенство неверное. В знаменателе стоит 10 и после сокращений там 3 получиться не может. Начнем со знаменателя. Что там посчитано?

Sorry, поторопился . Вот верная формула:

$$p=\frac{C^2_5}{C^2_6}=\frac{\frac{5!}{2! \times3!}}{\frac{6!}{2!\times 4!}}=\frac{5!\times 4!}{6!\times 3!}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

В знаменателе записано число всех исходов. В числителе записано число благоприятных исходов. При благоприятном исходе в последовательности вытянутых поочередно шаров на последнем месте находится черный шар (* * * * * B), на остальных местах необходимо разместить 2 белых и 3 оставшихся черных шара - это можно сделать С^2_5 способами.

[PAV]

Да, вот это верно.

[MMyaf]

TOTAL писал(а):

MMyaf писал(а):

А вероятность того, что при вынимании друг за другом шаров из урны последние два шара будут черными = $\frac{C^2_4}{6}=\frac{1}{2}$.

Про вероятность последних двух черных подумайте еще.

$$p=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{2}{5}$$