Найти ранг системы векторов .....

[plakidan]

Не могу решить задание: надо найти ранг системы векторов и выяснить, зависит ли ответ от тогго к какому пространству принадлежатть вектора(к вещественному или к комплексному). Дело в том, что вектора заданы в виде матриц, а я такого никогда не решал. Решал просто вектора с их координатами. А тут как, не могу понять:

А1=

$$\begin{bmatrix} 1 & i &1+i \\ 2-i & 0 & 1-i \end{bmatrix}$$

A2=

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 &i \\ 0 & 1+i & 2+i \end{bmatrix}$$

A3=

$$\begin{bmatrix} 1+i & -2 &-1 \\ 1+2i & -1-i & -1 \end{bmatrix}$$

A4=

$$\begin{bmatrix} 1-i & 2i &i \\ 2-i & -1+i & i \end{bmatrix}$$

Пробовал составлять систему из 4х уравнений с шестью коэффициентами(соответственно элементы матриц) - не выходит решить.
Помогите пожалуйста!

[Brukvalub]

Попробуйте записать строки каждой матрицы в виде своей для матрицы одной строки - получатся вектора.

[provincialka]

Если вам не нравятся матрицу -- вытяните каждую в строку. Какая разница?

plakidan в сообщении #1023146 писал(а):

систему из 4х уравнений с шестью коэффициентами(соответственно элементы матриц)

Что вы называете "коэффициентами"?

[plakidan]

Brukvalub в сообщении #1023148 писал(а):

Попробуйте записать строки каждой матрицы в виде своей для матрицы одной строки - получатся вектора.

Я пришёл к следующей матрице:

А=

$$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & -1 &0 \\ 0 & 0 &i \\ 0 & i &0 \\ i & &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

,
что можно привести к такой форме:


А=

$$\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\\ i & 0 &0 \\ 0 & i &0 \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}$$

Возможно, это глупый вопрос, но как понять вторую часть задания(выяснить, зависит ли ответ от тогго к какому пространству принадлежатть вектора(к вещественному или к комплексному)?
Ясно что принадлежат они к комплексному пространству, т.к. в матрице присутствует мнимая единица. А если бы векторы принадлежали к вещественному пространству, мне нужно просто убрать строки с мнимой единицей?

-- 03.06.2015, 21:09 --

-- 03.06.2015, 21:10 --

provincialka в сообщении #1023150 писал(а):

Если вам не нравятся матрицу -- вытяните каждую в строку. Какая разница?

plakidan в сообщении #1023146 писал(а):

систему из 4х уравнений с шестью коэффициентами(соответственно элементы матриц)

Что вы называете "коэффициентами"?

Коэффициентами называю элементы матрицы.

[provincialka]

Это что за матрица? У вас 4 вектора, каждый -- шестимерный. А матрицы размером $6\times3$

-- 03.06.2015, 21:14 --

plakidan в сообщении #1023152 писал(а):

Коэффициентами называю элементы матрицы.

И напрасно! Коэффициентами называются множители, на которые умножаются вектора (матрицы, функции...)

[plakidan]

[quote="provincialka в сообщении #1023153"]Это что за матрица? У вас 4 вектора, каждый -- шестимерный. А матрицы размером $6\times3$

Я неверное неправильно вас понял, но мне кажется матрица должна быть размером $6\times4$, разве не так? У меня же изначально дано 4 вектора в виде матриц.

[Brukvalub]

plakidan в сообщении #1023154 писал(а):

матрица должна быть размером $6\times4$, разве не так?

А теперь посмотрите на вашу матрицу.

[provincialka]

Дело за малым: объяснить, какое отношение эта матрица имеет к условию задачи?

[mihailm]

plakidan в сообщении #1023146 писал(а):

...А тут как, не могу понять:...

Ну давайте без вытягивания. Напишите линейную комбинацию заданных векторов.

[plakidan]

mihailm в сообщении #1023163 писал(а):

plakidan в сообщении #1023146 писал(а):

...А тут как, не могу понять:...

Ну давайте без вытягивания. Напишите линейную комбинацию заданных векторов.

Brukvalub в сообщении #1023156 писал(а):

plakidan в сообщении #1023154 писал(а):

матрица должна быть размером $6\times4$, разве не так?

А теперь посмотрите на вашу матрицу.

Через вытягиваение, путём разных преобразований, обнуляя строки и столбцы я пришёл к такой матрице:
А=

$$\begin{pmatrix} i&-1 \\ 1 & i \end{pmatrix}$$

Значит в комплексном пространстве ранг будет равен двум (с ответом сходится). А вот как узнать, какой ранг будет в вещественном пространстве?

[Brukvalub]

plakidan в сообщении #1023166 писал(а):

Через вытягиваение, путём разных преобразований, обнуляя строки и столбцы я пришёл к такой матрице

АбАлдеть.. Разве можно по вашему описанию вашего же решения понять, что вы нашли...

[plakidan]

Brukvalub в сообщении #1023171 писал(а):

plakidan в сообщении #1023166 писал(а):

Через вытягиваение, путём разных преобразований, обнуляя строки и столбцы я пришёл к такой матрице

АбАлдеть.. Разве можно по вашему описанию вашего же решения понять, что вы нашли...

Это система в вещественном пространстве, я при преобразованиях на "$i$" не домножал и не делил $\Rightarrow$ ранг в вещественном рпостранстве равен $2$, а в комплексном преобразуем матрицу далее, умножив первую строку на "$i$" и прибавив ко второй. Вторая строка обнуляется $\Rightarrow$ ранг системы в комплексном пространстве равен $1$. Кажется так.

[svv]

Нет, ранг $1$ здесь никак не может получиться. Это означало бы, что, умножив любой из векторов системы на некоторое комплексное число, Вы можете получить любой другой вектор системы. Чтобы увидеть, что ранг больше единицы, достаточно посмотреть на первые два элемента $A_1$ и $A_2$, то есть $(1; i)$ и $(-1;1)$.