Дивергенция вектора g

[fronnya]

Munin в сообщении #1022122 писал(а):

Этот тензор имеет такой физический смысл. Представим себе в пространстве каплю воды. Тогда её будет растягивать по одним направлениям, и сжимать по другим, в соответствии с этим тензором. (Могло бы ещё и закручивать, но не судьба: тензор получился симметричный.)

И откуда этот смысл прослеживается?

[iifat]

Оттуда, что в некотором базисе он будет диагональным.

[Munin]

fronnya в сообщении #1022123 писал(а):

И откуда этот смысл прослеживается?

Из физического смысла производной. Что такое $\dfrac{\partial}{\partial\vec{n}}$? Это практически вот такая вещь: мы смещаемся в направлении вектора $\vec{n}$ на малое расстояние $\Delta s.$ И тогда смотрим, как изменилась та величина, от которой мы берём производную по направлению. Это будет какое-то $\Delta f.$ И тогда их отношение будет в пределе равно этой производной:

$$\dfrac{\Delta f}{\Delta s}\xrightarrow{\Delta s\to 0}\dfrac{\partial f}{\partial\vec{n}}.$$

А величина у нас векторная - это вектор $\vec{g}.$ И производные мы берём сразу по всем направлениям, и по $x,$ и по $y,$ и по $z.$ Вот и получается в итоге тензор.

Посмотрим на каплю воды. В центре на неё действует какое-то ускорение силы тяжести $\vec{g}.$ А на поверхности? Возьмём точку поверхности, находящуюся от центра в направлении $\vec{n}.$ Она отстоит на малый радиус $r.$ И там будет уже какое-то другое ускорение силы тяжести $\vec{g}_{+r\vec{n}}.$ Так? Вот, а теперь как будет двигаться капля? Она будет падать как целое, с ускорением $\vec{g}$ (приблизительно, потому что это усреднённое ускорение по объёму капли). Но точка на поверхности захочет падать с ускорением $\vec{g}_{+r\vec{n}}$ - то есть, относительно капли она захочет двигаться с ускорением $\Delta_{+r\vec{n}}\vec{g}=\vec{g}_{+r\vec{n}}-\vec{g}.$ И теперь мы составляем ту самую дробь, и устремляем радиус капли к нулю:

$$\dfrac{\Delta_{+r\vec{n}}\vec{g}}{r}\xrightarrow{r\to 0}\dfrac{\partial\vec{g}}{\partial\vec{n}}.$$

Опа! У нас получилось ровно то, что мы вычисляли: производная от вектора $\vec{g}.$ А с учётом того, что производные по всем направлениям, получается тензор $\dfrac{\partial g_j}{\partial x_i}\equiv\partial_i g_j.$

Заметьте, что если точка поверхности капли, отстоящая от центра в плюс по какой-то оси, притягивается к центру, то точно так же и противоположная точка поверхности, отстоящая в минус по той же оси, тоже притягивается к центру.

Теперь, чтобы не мучиться долго с ортогонализацией, я вам подскажу. Сам этот тензор имеет сферическую симметрию как функция в пространстве (не путать с симметрией между компонентами тензора, и не путать с симметрией в пространстве как величины, заданной в точке - уф!). То есть, для этого тензора играют роль только направления "вдоль радиуса $\vec{r}$" и "поперёк радиуса $\vec{r}$" - по мере того, как он переходит от точки к точке, он "поворачивается", следя за этими направлениями. Поэтому, можно упростить себе задачу, введя декартову систему координат так, чтобы она была привязана к той точке, в которой мы рассматриваем тензор: допустим, мы ввели оси $Oxyz$ так, что рассматриваемая точка имеет координаты $x=r,\quad y=z=0.$ Тогда тензор сразу будет иметь диагональный вид, и вы сможете написать его явный вид, как матрицу $3\times 3.$ И тогда можно будет подумать над тем, что говорят нам эти числа.