Лемма Пуанкаре на плоскости: нужна ссылка

[DLL]

Речь идет о: если в односвязной области $f_x(x,y) - g_y(x,y) = 0$, то существует функция $r(x,y)$, что $f = r_y, g = r_x$.

Нужна ссылка на какой-нибудь зарубежный учебник по Calculus, при чем хочется чтобы было именно в таких терминах, без дифференциальных форм

[svv]

Пока народ ищет ссылки...

Криволинейный интеграл второго рода $\int\limits_{OB}(gdx+fdy)$ не зависит от пути интегрирования, если $g_y=f_x$, что у Вас выполнено. Вот и зададим функцию $r$ в точке $O(0,0)$ произвольно, а в любой другой точке $B(x, y)$ так:
$r(x, y)=r(0, 0)+\int\limits_{OB} (gdx+fdy)$

Остаётся проверить, что она удовлетворяет условиям. Построим прямоугольник с вершинами $O(0,0), A(x, 0), B(x, y), C(0, y)$. Тогда $r(x, y)$ с точностью до постоянного слагаемого $r(0,0)$ равна любому из выражений
$\int\limits_{OAB}(gdx+fdy)=\int\limits_{0}^x g(\tilde x, 0)d\tilde x+\int\limits_{0}^y f(x, \tilde y)d\tilde y$
$\int\limits_{OCB}(gdx+fdy)=\int\limits_{0}^y f(0, \tilde y)d\tilde y+\int\limits_{0}^y g(\tilde x, y)d\tilde x$
Первое выражение удобно для проверки $r_y=f$, второе — для проверки $r_x=g$.

Дальше начинаются вопросы, вроде «а что делать, если не весь прямоугольник принадлежит области?», но я своё дело сделал — показал идею.

[DLL]

Ну это само собой
Только мне книжка нужна, чтобы в статье сослаться.
Один в один, то что Вы написали есть в Фихтенгольце, но нужен именно западный учебник.

[Oleg Zubelevich]

в статье такого сорта утверждения используются без ссылок и даже можно без явной формулировки.