Сходимость ряда

[vanoand]

Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда

$$ \sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0. $$

Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

[ewert]

vanoand в сообщении #1021083 писал(а):

Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает

Из этого ещё ничего не следует.

vanoand в сообщении #1021083 писал(а):

скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

Скорость сходимости ряда не может зависеть от внутренней переменной интегрирования -- ряд этой переменной не видит.

И уж кстати: неприлично обозначать переменную как константу, а константу как переменную.

[Brukvalub]

vanoand в сообщении #1021083 писал(а):

Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда

$$ \sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0. $$

Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

То, что этот ряд сходится - верный и тривиальный факт, но ваше обоснование его выглядит ужасно!

[vanoand]

Brukvalub,
ewert,

cпасибо за ответ! Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

И обозначения не мои, но могу подправить

$$ \sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt. $$

[ewert]

Так лучше, конечно.

В Вашем случае надо равномерно оценить подынтегральную функцию сверху и сослаться на признак сравнения.

[Brukvalub]

vanoand в сообщении #1021110 писал(а):

Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

Верным обоснованием, будет, например, очевидная оценка сверху модулей членов ряда членами заведомо сходящегося ряда.

[vanoand]

Brukvalub
ewert

А можно переставить местами суммирование и интегрирование? Тогда будет так

$$ \sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt = \int_0^{t_0} e^{t} \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}dt = \int_0^{t_0} e^{2t} dt = \frac{1}{2}(e^{2t_0}-1) . $$

По-моему, нельзя. Что же тогда делать? Ряд из подынтегральной функции сходится потому что

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} $$

сходится к экспоненте, но там же сначала проинтегрировать эту функцию нужно, а потом просуммировать.

[ewert]

vanoand в сообщении #1021140 писал(а):

А можно переставить местами суммирование и интегрирование?

Можно. Однако это -- гораздо более сложный вопрос, чем тот, который стоит перед Вами.

[vanoand]

ewert,

Хорошо, как Вы говорите, найдем мажорирующий сходящийся ряд для нашего ряда

$$ a_n = \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt. $$

Например, ряд с таким членом

$$ b_n = e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!} $$

$$ |a_n| < |b_n| $$

Так как

$$ \sum_{n=0}^{\infty} b_n = \sum_{n=0}^{\infty} e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!} = e^{2t_0}, $$

то ряд

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt $$

тоже сходится

[ewert]

Верно, но с двумя оговорками. Во-первых, сумму мажорирующего ряда вовсе не нужно было выписывать явно. Во-вторых, модули тоже не нужны, а один из них даже вреден: он приводит к тому, что логическая цепочка оказывается формально разорванной.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1021181 писал(а):

Во-вторых, модули тоже не нужны

Модуль нужен, чтобы не заботиться о положении верхнего предела интегрирования по отношению к нулю.

[vanoand]

ewert,

спасибо!

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1021185 писал(а):

Модуль нужен

Модуль вреден: из $|a_n|<|b_n|$ и сходимости ряда $\sum b_n$ формально ничего не следует. Без дополнительных оговорок, а их в тексте не было.