2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:09 
Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0.
$$
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:20 
vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает

Из этого ещё ничего не следует.

vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

Скорость сходимости ряда не может зависеть от внутренней переменной интегрирования -- ряд этой переменной не видит.

И уж кстати: неприлично обозначать переменную как константу, а константу как переменную.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 15:39 
Аватара пользователя
vanoand в сообщении #1021083 писал(а):
Здравствуйте,

скажите, пожалуйста, я правильно думаю, что такой ряд сходится, вообще-то всегда
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^t e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}dt_0.
$$
Потому что $\frac{t_0^n}{n!}$ убывает, а скорость сходимости будет зависеть от величины $e^{t_0}$?

То, что этот ряд сходится - верный и тривиальный факт, но ваше обоснование его выглядит ужасно!

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:03 
Brukvalub,
ewert,

cпасибо за ответ! Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

И обозначения не мои, но могу подправить
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt.
$$

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:09 
Так лучше, конечно.

В Вашем случае надо равномерно оценить подынтегральную функцию сверху и сослаться на признак сравнения.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:09 
Аватара пользователя
vanoand в сообщении #1021110 писал(а):
Хорошо, мое обоснование абсолютно неправильное, а какое же верное?

Верным обоснованием, будет, например, очевидная оценка сверху модулей членов ряда членами заведомо сходящегося ряда.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:47 
Brukvalub
ewert

А можно переставить местами суммирование и интегрирование? Тогда будет так
$$
\sum_{n=0}^\infty \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt = \int_0^{t_0} e^{t}  \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}dt  =  \int_0^{t_0} e^{2t} dt = \frac{1}{2}(e^{2t_0}-1) .
$$
По-моему, нельзя. Что же тогда делать? Ряд из подынтегральной функции сходится потому что
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}
$$
сходится к экспоненте, но там же сначала проинтегрировать эту функцию нужно, а потом просуммировать.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 16:53 
vanoand в сообщении #1021140 писал(а):
А можно переставить местами суммирование и интегрирование?

Можно. Однако это -- гораздо более сложный вопрос, чем тот, который стоит перед Вами.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 18:44 
ewert,

Хорошо, как Вы говорите, найдем мажорирующий сходящийся ряд для нашего ряда
$$
a_n = \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt.
$$
Например, ряд с таким членом
$$
b_n = e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!}
$$
$$
|a_n| < |b_n|
$$
Так как
$$
\sum_{n=0}^{\infty} b_n = \sum_{n=0}^{\infty} e^{t_0} \frac{t_0^n}{n!} = e^{2t_0},
$$
то ряд
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{t_0} e^{t} \frac{t^n}{n!}dt
$$
тоже сходится

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 18:55 
Верно, но с двумя оговорками. Во-первых, сумму мажорирующего ряда вовсе не нужно было выписывать явно. Во-вторых, модули тоже не нужны, а один из них даже вреден: он приводит к тому, что логическая цепочка оказывается формально разорванной.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:01 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1021181 писал(а):
Во-вторых, модули тоже не нужны

Модуль нужен, чтобы не заботиться о положении верхнего предела интегрирования по отношению к нулю.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:02 
ewert,

спасибо!

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение29.05.2015, 19:17 
Brukvalub в сообщении #1021185 писал(а):
Модуль нужен

Модуль вреден: из $|a_n|<|b_n|$ и сходимости ряда $\sum b_n$ формально ничего не следует. Без дополнительных оговорок, а их в тексте не было.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group