Как доказать, что интеграл "неберущийся"?

[kotlin1470]

Дан интеграл:

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{1-t^2}}\sqrt{{1+t^2}}}dt$$

Необходимо доказать, что он "неберущийся".
Насколько я понял, доказать это можно, приведя к уже известным табличным интегралам, либо с помощью критерия Лиувилля. Не совсем понимаю механизм работы второго, поэтому пошёл по первому пути:

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{\cos(a)}}{1+\cos(a)}da$$

Вольфрам подсказал, что это должен быть некий эллиптический интеграл.
Собственно вопрос: Какие преобразования необходимо сделать, чтобы из первоначального интеграла получить эллиптический?

[svv]

Для приведения данного интеграла к нормальной форме Лежандра сделайте замену $t=\cos\varphi$. Общий метод см. в справочнике Корна по математике (п. 21.6.5, 21.6.6), либо у Бейтмена, Эрдейи, том 3, п. 13.5.

[Skipper]

А вот вопрос более общий. Имеется якобы "дифференциальная теория Галуа", и прочие методы.
А где можно почитать об общих принципах - доказательства, какие интегралы берущиеся, и какие неберущиеся?

Чтобы, к примеру вот так - дан интеграл , посмотрел на него, применил эти принципы, и сказал "этот интеграл неберущийся".

[g______d]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

[Aritaborian]

g______d в сообщении #1369137 писал(а):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

Насколько я помню о том, что читал насчёт алгоритма Риша, он всё же не является волшебной палочкой. Он решает почти-почти всё, но в конечном счёте упирается в constant problem, а она не решена.