2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:08 


28/07/14
68
Здравствуйте. Встал вопрос с одним простым интегралом : $ \int \sqrt{1-\sin2x} dx$. Идея взятия была в том,чтобы преобразовать так : $ 1-\sin2x=(\cos x-\sin x)^2$ и обеспечиваясь тем, что $ \forall x (1- \sin2x) \geqslant 0$ раскрыть корень как $(\cos x - \sin x)$, без модуля. Но , видимо, преобразование получается не равносильное? Как взять иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не надо иначе, проще не будет. Считайте первообразную от модуля разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Угу, $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$, а не $a$. А квадрат, разумеется, неотрицателен в любом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:23 


28/07/14
68
А есть ли смысл брать как : $\int \sqrt{1-\sin2x}= sign(\cos x-\sin x)\int (\cos x-\sin x) dx?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А чего вы знак вынесли? Он же зависит от $x$. Вообще, что в том случае, что просто с модулем, вам придётся найти, где же именно косинус больше, а где синус (а это не так страшно как кажется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:32 


28/07/14
68
arseniiv в сообщении #1020110 писал(а):
А чего вы знак вынесли? Он же зависит от $x$. Вообще, что в том случае, что просто с модулем, вам придётся найти, где же именно косинус больше, а где синус (а это не так страшно как кажется).

Тогда надо будет просто записать ответ для двух промежутков : $x \in [2\pi n-\frac{3\pi}{4},2\pi n+\frac{\pi}{4}]$ и $x \in [2\pi n+\frac{\pi}{4},2\pi n+\pi]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Можно еще использовать определенный интеграл с переменным верхним пределом. Тогда результат буде непрерывной функцией...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение26.05.2015, 22:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kvendingoldo, если вам дали этот интеграл как неопределённый, то это просто небрежность преподавателя; смело и гордо игнорируйте модуль, если же последуют придирки -- то это будет со стороны препода уже не небрежность, а разгильдяйство. Ибо возиться со всеми этими сигнумами в неопределённом интеграле -- бессмысленно и с практической точки зрения даже вредно.

Если же он с самого начала был определённым, то дело совсем другое. Тогда да, надо разбить промежуток интегрирования на участки в соответствии с раскрытием модулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение27.05.2015, 22:19 


28/07/14
68
ewert в сообщении #1020191 писал(а):
kvendingoldo, если вам дали этот интеграл как неопределённый, то это просто небрежность преподавателя; смело и гордо игнорируйте модуль, если же последуют придирки -- то это будет со стороны препода уже не небрежность, а разгильдяйство. Ибо возиться со всеми этими сигнумами в неопределённом интеграле -- бессмысленно и с практической точки зрения даже вредно.

Если же он с самого начала был определённым, то дело совсем другое. Тогда да, надо разбить промежуток интегрирования на участки в соответствии с раскрытием модулей.


Дали именно как неопределённый и долго наезжали по поводу моего "корявого" расскрытия модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение28.05.2015, 00:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
kvendingoldo
А что предлагают-то взамен? расскажите, мы хоть поучимся. Или наоборот, в ответ понаезжаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение28.05.2015, 00:38 


02/06/12
54
Куркент
Как берутся интегралы от таких неэлементарных функций как $ [x]$ хорошо объяснено в антидемидовиче например.После объединения всех случаев у меня получился довольно компактно ,что $$ (-1)^lcos(x-\pi/4 ) +C +2l$$ ,если $$\pi l +\pi/4 <x<\pi l+5\pi/4 $$

-- 28.05.2015, 00:46 --

Хотя конечно $l$ некрасиво смотрится в ответе как заменить через х непонятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение28.05.2015, 09:30 


02/06/12
54
Куркент
Заменить неравенство уравнением можно ведь используя модули или целую часть функции.Например неравенство $$\pi l +\frac{\pi}{4} \leq x < \pi l+\frac{5\pi}{4} $$ или что то же самое $$ l \leq \frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}<l+1 $$ можно записать как $$ [\frac{x}{\pi} -\frac{1}{4}] =l$$ и тогда интеграл примет вид функции без условий $$ (-1)^{[\frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}]} \cos(x- \frac{\pi}{4}) + [\frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}] + C $$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенький интеграл.
Сообщение28.05.2015, 11:18 


02/06/12
54
Куркент
Никто не наезжает(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group