Простенький интеграл.

[kvendingoldo]

Здравствуйте. Встал вопрос с одним простым интегралом : $ \int \sqrt{1-\sin2x} dx$. Идея взятия была в том,чтобы преобразовать так : $ 1-\sin2x=(\cos x-\sin x)^2$ и обеспечиваясь тем, что $ \forall x (1- \sin2x) \geqslant 0$ раскрыть корень как $(\cos x - \sin x)$, без модуля. Но , видимо, преобразование получается не равносильное? Как взять иначе?

[Otta]

Не надо иначе, проще не будет. Считайте первообразную от модуля разности.

[arseniiv]

Угу, $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$, а не $a$. А квадрат, разумеется, неотрицателен в любом случае.

[kvendingoldo]

А есть ли смысл брать как : $\int \sqrt{1-\sin2x}= sign(\cos x-\sin x)\int (\cos x-\sin x) dx?$

[arseniiv]

А чего вы знак вынесли? Он же зависит от $x$. Вообще, что в том случае, что просто с модулем, вам придётся найти, где же именно косинус больше, а где синус (а это не так страшно как кажется).

[kvendingoldo]

arseniiv в сообщении #1020110 писал(а):

А чего вы знак вынесли? Он же зависит от $x$. Вообще, что в том случае, что просто с модулем, вам придётся найти, где же именно косинус больше, а где синус (а это не так страшно как кажется).

Тогда надо будет просто записать ответ для двух промежутков : $x \in [2\pi n-\frac{3\pi}{4},2\pi n+\frac{\pi}{4}]$ и $x \in [2\pi n+\frac{\pi}{4},2\pi n+\pi]$?

[provincialka]

Можно еще использовать определенный интеграл с переменным верхним пределом. Тогда результат буде непрерывной функцией...

[ewert]

kvendingoldo, если вам дали этот интеграл как неопределённый, то это просто небрежность преподавателя; смело и гордо игнорируйте модуль, если же последуют придирки -- то это будет со стороны препода уже не небрежность, а разгильдяйство. Ибо возиться со всеми этими сигнумами в неопределённом интеграле -- бессмысленно и с практической точки зрения даже вредно.

Если же он с самого начала был определённым, то дело совсем другое. Тогда да, надо разбить промежуток интегрирования на участки в соответствии с раскрытием модулей.

[kvendingoldo]

ewert в сообщении #1020191 писал(а):

kvendingoldo, если вам дали этот интеграл как неопределённый, то это просто небрежность преподавателя; смело и гордо игнорируйте модуль, если же последуют придирки -- то это будет со стороны препода уже не небрежность, а разгильдяйство. Ибо возиться со всеми этими сигнумами в неопределённом интеграле -- бессмысленно и с практической точки зрения даже вредно.

Если же он с самого начала был определённым, то дело совсем другое. Тогда да, надо разбить промежуток интегрирования на участки в соответствии с раскрытием модулей.

Дали именно как неопределённый и долго наезжали по поводу моего "корявого" расскрытия модуля.

[Otta]

kvendingoldo
А что предлагают-то взамен? расскажите, мы хоть поучимся. Или наоборот, в ответ понаезжаем.

[marij]

Как берутся интегралы от таких неэлементарных функций как $ [x]$ хорошо объяснено в антидемидовиче например.После объединения всех случаев у меня получился довольно компактно ,что

$$ (-1)^lcos(x-\pi/4 ) +C +2l$$

,если

$$\pi l +\pi/4 <x<\pi l+5\pi/4 $$

-- 28.05.2015, 00:46 --

Хотя конечно $l$ некрасиво смотрится в ответе как заменить через х непонятно

[marij]

Заменить неравенство уравнением можно ведь используя модули или целую часть функции.Например неравенство

$$\pi l +\frac{\pi}{4} \leq x < \pi l+\frac{5\pi}{4} $$

или что то же самое

$$ l \leq \frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}<l+1 $$

можно записать как

$$ [\frac{x}{\pi} -\frac{1}{4}] =l$$

и тогда интеграл примет вид функции без условий

$$ (-1)^{[\frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}]} \cos(x- \frac{\pi}{4}) + [\frac{x}{\pi} - \frac{1}{4}] + C $$

.

[marij]

Никто не наезжает(