Придумать преобразование

[TelmanStud]

Доброго дня Всем!
Подскажите, если кто знает, есть ли преобразование, преобразующее
$x''(t)-x(t)=0$ в $x''(t)+x(t)=0$, кроме как $t\to it$.
Благодарю заранее.

[provincialka]

А что считается "преобразованием"? Замена переменных?
Как связаны исходное и новое уравнения? (Например, решение одного преобразуется в решение другого - ?)

[TelmanStud]

provincialka
Поменяю условие.
Существует ли замена $x(t) \to F(y(T),T) $, что уравнение
$x_{tt}(t)-x(t)=0$ преобразуется в $y_{TT}(T)+y(T)=0$
Благодарю заранее.

[ИСН]

Существует, и Вы её привели.

[TelmanStud]

ИСН
где же в явном виде))?

[ИСН]

TelmanStud в сообщении #1020383 писал(а):

$t\to it$

[TelmanStud]

ИСН
эт не в счет.. Возможно ли существование какого нибудь еще? Но только не такого, что в основе "сидит" $t\to it$

[ИСН]

$t\to it+1$

-- менее минуты назад --

Преобразуйте произвольной функцией, приравняйте результат к тому, который хочется иметь. Получится какое-то условие на функцию.

[TelmanStud]

ИСН в сообщении #1020407 писал(а):

$t\to it+1$

-- менее минуты назад --

Преобразуйте произвольной функцией, приравняйте результат к тому, который хочется иметь. Получится какое-то условие на функцию.

Дело в том что есть ли весь оставшийся "мусор" приравнять нулю получается, что оно противоречит основному выводимому.

[provincialka]

Ну, у первого уравнения решения -- экспоненты , а у второго -- синусы и косинусы. При замене переменных один тип функций должен переходить в другой! И тут уж без комплексных переменных не обойдешься...

[TelmanStud]

provincialka
Да это и есть главная проблема(((..
Или короче говоря нет ли другой связи, кроме как $\sinh(it)=i \sin(t)$

[provincialka]

TelmanStud в сообщении #1020431 писал(а):

нет ли другой связи, кроме как $\sh(it)=i \sin(t)$

Ну, это вопрос философский! Что значит "другой"? Эта связь есть, а любая другая будет просто равносильной записью того же соотношения.

[TelmanStud]

provincialka в сообщении #1020433 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1020431 писал(а):

нет ли другой связи, кроме как $\sh(it)=i \sin(t)$

Ну, это вопрос философский! Что значит "другой"? Эта связь есть, а любая другая будет просто равносильной записью того же соотношения.

Огорчили Вы меня..
Ладно спасибо Всем !

[arseniiv]

А чем комплексные числа в вашем случае так плохи?

[sergei1961]

Вопрос , который Вы задаёте, относится к теории операторов преобразования. Есть ли оператор преобразования $T$, который на хороших функциях удовлетворяет свойству $T(D^2+a)=(D^2-a)T$. Или с произвольными постоянными $T(D^2+a)=(D^2+b)T$. Когда-то чтобы их как-то назвать, я предложил такое название для подобных операторов преобразования: ОП Векуа-Эрдейи-Лаундеса, по имени математиков, которые их использовали в своих целях. Есть и более общий ОП, связывающий два дифференциальных оператора (выражения) Штурма-Лиувилля $T(D^2+q(x))=(D^2)T$ или $T(D^2+q(x))=(D^2+p(x))T$. Могу порекомендовать свой обзор по ОП, а ещё лучше, как всегда, классику-книги В.А.Марченко, Б.М.Левитана, Р.Кэрролла по теории ОП.

Кстати, построить таких операторов можно сколько угодно, так как если есть один, то домножение в данном случае этого ОП на любой оператор, коммутирующий на выбранном множестве функций с производной, причём слева или справа-всё равно!, даст новый ОП и тд. Например, можно на все виды дробных интегралов домножать. Для того, чтобы построить этим способом все ОП, сплетая операторы с переменными коэффициентами-там только с одной стороны можно на коммутирующий домножать. Поэтому есть биекция всех ОП для данной пары сплетаемых операторов и всех с ними коммутирующих. Таким образом, зная всего один ОП и все коммутирующие с одним с из пары, можно найти все ОП. И наоборот-зная всего один коммутирующий и все ОП можно найти все коммутирующие-идея Лионса-Дельсарта.