В вашем выводе мне не понравились формальные бусты, которым Вы не придаете физического смысла или зачем-то умалчиваете о нем.
Вы правы. Это стоило объяснить. Физический смысл есть.

- ЛСО. Оси в ней я выбрал так, чтобы вектор скорости

был направлен по оси

. Проекция вектора спина частицы пусть будет направлена вдоль

(для более общего случая надо ещё попотеть).
Я представляю

в виде

, то есть раскладываю

по двум перпендикулярным векторам вдоль осей

и

.
Для начала я совершаю буст со скоростью

вдоль оси

. В результате этого буста я оказываюсь в системе

, в которой проекция спина на плоскость направлена опять же по оси

(уже по новой оси

, можно её штрихом пометить, допустим; не важно). Затем я совершаю буст вдоль оси

этой системы со скоростью

, в результате чего оказываюсь в новой системе

, обладающей двумя свойствами:
1. относительно системы

она движется со скоростью

. То есть это сопутствующая частице в момент

по времени ЛСО система.
2. направление проекции вектора спина на плоскость в системе

такое же, как и в системе

(потому что скорость системы

относительно

очень мала).
Следовательно, если мы рассмотрим жёстко связанную с частицей систему, оси которой сохраняют с проекцией спина постоянный угол, то в один момент времени эта система совпадёт с системой, движущейся вдоль оси

ЛСО со скоростью

, а в другой – с системой

. И в этом её физический смысл.
Ваш анализ может быть так проведен только в определенном (довольно общем, но все-таки) приближении (или, иначе говоря, при определенных упрощениях). В каком (при каких) именно?
Эта формула верна в первом порядке по

. То есть это точная дифференциальная формула.