Прецессия Томаса

[tech]

Здравствуйте.
Уже много времени пытаюсь разобраться с прецессией Томаса. Наткнулся на вывод, подкупающий своей краткостью и внешней простотой:
http://arxiv.org/pdf/1211.1854v1.pdf
И опять у меня возникли проблемы с тем, как обращаться с векторами скорости в СТО.

Когда-то я задавал вопрос по поводу такой формулировки: "начало координат системы $K'$ движется со скоростью $\textbf{V} = (V_x, V_y)$ относительно системы $K$, а оси координат составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$".
Я не понимал, что значит «оси координат (системы $K'$) составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$». Какой такой вектор $\textbf{V}$ в системе $K'$ ? Оказалось, что понимать это стоит так:

Munin в сообщении #978001 писал(а):

Вектор скорости начала координат $K$ в системе $K'$ будет $-\mathbf{V}.$ Взяв от него минус, и можно получить "вектор $\mathbf{V}$ в системе $K'$".

После этого я так и понимал: вектор $\textbf{V}$ в системе $K'$ – это целая конструкция. Наблюдатель в $K'$ смотрит, как движется система $K$, называет вектор её скорости $-\textbf{V}$, а затем получает $\textbf{V}$

В работе, приведённой по ссылке, есть вектор $ \mathbf {\tilde v}$ - скорость системы $A$ относительно системы $C$, есть вектор $\mathbf v+d\mathbf v$ - скорость системы $C$ относительно системы $A$.
Не говоря уж о том, что я не понимаю, почему угол поворота равен тому, чему он равен, я не понимаю даже, почему мы можем писать $\mathbf {\tilde v}\times(\mathbf v+d\mathbf v)$. Что такое вектор $\mathbf{\tilde v}$ в системе $A$?

[Kirill_Sal]

Советую сначала самостоятельно сделать простой расчет по стандартным формулам, не изобретая лишних сущностей:
1) рассмотрите переход от лоренцевой системы $A$ к такой же системе $B$, которая движется относительно $A$ со скоростью $\vec{V}_{AB}$, направленной вдоль оси $x$;
2) затем перейдите от $B$ к $C$, скорость которой относительно $B$ равна $\vec{V}_{BC}$ и направлена вдоль оси $y'$;
3) теперь осуществите чуть более сложный переход от системы $C$ к $A'$, скорость которой относительно $C$ равна релятивистской сумме $-\vec{V}_{BC}$ и $-\vec{V}_{AB}$;
Понятна ли геометрическая интерпретация задачи? Будет ли система $A'$ совпадать с системой $A$? Каким свойством преобразований Лоренца обусловлена несостыковка?
И доп.вопрос: что будет, если поменять в преобразовании пункта 3) порядок "сомножителей" (на теоретико-групповом жаргоне) $-\vec{V}_{BC}$ и $-\vec{V}_{AB}$?
Если с этой задачей разберетесь, то данная статья не должна вызвать у Вас затруднений. Если обозначения не понравятся, то прошу извинить, - выбрал те, которые лично мне кажутся наиболее понятными.

[rustot]

Судя по "not rotated", система отсчета $B$ относительно $A$ движется вдоль одной из осей, и система отсчета $C$ относительно $B$ тоже движется вдоль одной из осей. Только в этом случае все три оси двух систем отсчета могут быть попарно параллельны и можно говорить о том что системы не повернуты друг относительно друга. В иных случаях вы всегда можете сказать что коли $y$ и $y'$ непараллельны, то значит система отсчета "повернута". Но довернув ее до параллельности $y$ и $y'$ вы обнаружите непараллельность $x$ и $x'$ и опять можете сказать что она "повернута".

[tech]

Kirill_Sal в сообщении #1019759 писал(а):

3) теперь осуществите чуть более сложный переход от системы $C$ к $A'$, скорость которой относительно $C$ равна релятивистской сумме $-\vec{V}_{BC}$ и $-\vec{V}_{AB}$;
Понятна ли геометрическая интерпретация задачи? Будет ли система $A'$ совпадать с системой $A$?

Система $A'$ будет повернута относительно системы $A$.

Kirill_Sal в сообщении #1019759 писал(а):

Каким свойством преобразований Лоренца обусловлена несостыковка?

Некоммутативность?

Kirill_Sal в сообщении #1019759 писал(а):

И доп.вопрос: что будет, если поменять в преобразовании пункта 3) порядок "сомножителей" (на теоретико-групповом жаргоне) $-\vec{V}_{BC}$ и $-\vec{V}_{AB}$?

Тогда, вообще говоря, даже после пространственного поворота мы не превратим $A'$ в $A$.

Только вот не понимаю я совсем, как это связано с прецессией Томаса. Как задача прецессии Томаса сводится к тому, что "два последовательных буста вдоль различных осей $\ne$ буст с суммарной скоростью"?

[Munin]

tech в сообщении #1019863 писал(а):

Только вот не понимаю я совсем, как это связано с прецессией Томаса. Как задача прецессии Томаса сводится к тому, что "два последовательных буста вдоль различных осей $\ne$ буст с суммарной скоростью"?

Теперь представьте, что одна из различных осей поворачивается.

[Kirill_Sal]

tech
Я думал, что если человек с этой вводной задачей хорошо разобрался, то вопросов со скоростями возникать не должно.

[tech]

Кажется, я понял идею. Вот что у меня получается.
Пусть мы находимся в системе $A$.
Допустим, частица двигается со скоростью $\mathbf{v}$ в момент времени $t$ и со скоростью $\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ в момент времени $t+dt$. Допустим для начала ещё, что спин частицы был направлен по скорости $\mathbf{v}$.

$\mathbf{v}+d\mathbf{v}=\mathbf{v}+d\mathbf{v}_x+d\mathbf{v}_y$

Рассмотрим два последовательных буста: вдоль оси $x$ со скоростью $\mathbf{v}+d\mathbf{v}_x$ и затем вдоль оси $y$ со скоростью

$$d\mathbf{v}_y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\mathbf{v}+d\mathbf{v}_x}{c})^2}}d\mathbf{v}_y\approx \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}d\mathbf{v}_y$$

Если мы сейчас перейдём из системы $A$ в систему $A'$, движущуюся со скоростью $\mathbf{v}+d\mathbf{v}$, то мы увидим, что оси, прибитые к частице, повернуты на угол

$$\tg d\theta\approx d\theta \approx -(\gamma-1)d\varphi$$

относительно осей системы $A'$ (это я как-то раз считал), где

$$d\varphi=\frac{dv_y}{v+dv_x}\approx\frac{dv_y}{v}$$

Но теперь нам надо посмотреть, как угол поворота спина выглядит в системе $A$.

Обозначим его через

$$d\psi=\gamma(d\varphi-d\theta)-d\varphi=d\varphi(\gamma-1)-\gamma d\theta=-d\varphi(\gamma^2-1)=-\frac{\gamma^2-1}{v}dv_y$$

Пояснение: угол $d\theta$ у меня вышел отрицательным, поэтому в системе $A'$ угол между направлением скорости $\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ и спином равен разности $d\varphi$ и $d\theta$. В системе $A$ угол между спином и направлением скорости больше в $\gamma$ раз.

В общем, $d\psi$ у меня, кажется, получилось неправильным.
Где я ошибаюсь?

[rustot]

Не понимаю, угол чего относительно чего вы отсчитываете?

Допустим для простоты двумерный случай. Вот у вас есть частица и вы видите привязанные к ней оси ее системы отсчета НЕ перпендикулярными друг к другу. Соответственно когда вы перейдете в систему отсчета относительно которой частица неподвижна, то от чего бы вы ни отсчитывали углы, ось $x'$ и ось $y'$ повернутся на разный угол, поскольку тепеь станут перпендикулярны друг другу

[tech]

rustot
Я это понимаю.

Угол $d\varphi$ - угол, который составляет вектор скорости системы $A'$ с осями системы $A$. Если мы теперь переходим в систему $A'$, то оси этой системы $A'$ составляют тот же угол $d\varphi$ с вектором скорости.

Угол $d\theta$ – угол между осью $x'$ системы $A'$ и спином частицы.

Угол $d\psi$ – угол между осью $x$ системы $A$ и спином частицы. Так как изначально я предположил, что спин частицы направлен по её скорости, а значит по оси $x$, то это также и угол поворота спина.

[Kirill_Sal]

tech
Я тоже не понимаю, что Вы делаете.

-- 26.05.2015, 20:55 --

Но после этого желание дальше разбираться в Ваших выкладках пропадает.

tech в сообщении #1020030 писал(а):

Допустим для начала ещё, что спин частицы был направлен по скорости $\mathbf{v}$.

[tech]

Kirill_Sal в сообщении #1020078 писал(а):

Но после этого желание дальше разбираться в Ваших выкладках пропадает.

Я сам не замечал, что проекцию вектора спина на плоскость $xy$ называл словом "спин". Думаю, было понятно.

-- 26.05.2015, 21:04 --

Если вы не понимаете, что я делаю, то скажите, что надо делать.
Либо скажите, что конкретно вы не понимаете.

Ну и да, везде где там написано "спин" надо написать "проекция вектора спина на плоскость $xy$".

[Kirill_Sal]

tech
Вам не кажется, что сия проекция на плоскость движения равна нулю?
Второе, что мне не нравится. В системе $A$ в момент времени $t$ частица имеет скорость $\vec{v}$, а в момент времени $t+dt$ - скорость $\vec{v}+d\vec{v}$? Поясните.

[tech]

Kirill_Sal в сообщении #1020088 писал(а):

В системе $A$ в момент времени $t$ частица имеет скорость $\vec{v}$, а в момент времени $t+dt$ - скорость $\vec{v}+d\vec{v}$? Поясните.

Не понял, что вам не нравится.
$d\vec{v}=\dot{\vec{v}}dt$
Частица же движется произвольным образом.

[Kirill_Sal]

tech
Так, понял. По-моему, дальше нужно рассмотреть две мгновенно сопутствующие системы в момент $t$ и $t+dt$. Вы так решали или по-другому?
Прошу прощения, но мне Ваш способ излагать мысли не совсем понятен.

-- 26.05.2015, 21:18 --

Так, и что у нас там с вектором спина?

[tech]

Kirill_Sal
Я рассмотрел систему, движущуюся со скоростью $\textbf{v}$, и систему, движущуюся со скоростью $\textbf{v}+d\textbf{v}$.
Так что, наверное, так.

-- 26.05.2015, 21:24 --

Kirill_Sal в сообщении #1020099 писал(а):

Так, и что у нас там с вектором спина?

С вектором спина как-то так: