(Не)зависимые события на диаграмме Венна

[gris]

А может быть вы имеете в виду "карты событий"? А Вы видели на них когда-нибудь правильную геометрическую фигуру? Круги и прямоугольники только на диаграммах бывают, а в реальной жизни это пластины с пятнами причудливой формы и по ним определить площадь пересечения весьма затруднительно. Хотя байки про старичков-компараторов, определяющих эти ваши пересечения быстрее оптической машины, всегда рассказывали новичкам. Но сейчас эти методы забыты, и всё делает компьютер по совершенно другим методикам.

[Лукомор]

gris в сообщении #1006705 писал(а):

А может быть вы имеете в виду "карты событий"?

(Оффтоп)

Увы, нет. Скажу больше, слова "карты" и "событий" никогда не встречал в одном словосочетании...

[Лукомор]

Лукомор в сообщении #1006528 писал(а):

Хотелось бы понять:
1. как это так ловко получается в этом вероятностном мире, что из $P(G|R)=P(G)$ непременно следует $P(R|G)=P(R)$?
2. и, соответственно, если, например, события зависимые, и $P(G|R)<P(G)$, следует ли из этого, что и $P(R|G)<P(R)$ тоже, или, в этом случае будет наоборот $P(R|G)>P(R)$?
3. и, наконец, есть ли в теории вероятностей аналог неравенства Коши-Буняковского в виде, для данного примера, $P(R)\cdot P(G)\geqslant P(R|G)\cdot P(G|R)$.

Ну, кажется, со всеми своими вопросами я разобрался, с вашей помощью, сам. Если кому-то любопытно, выкладываю свои рассуждения, покритикуйте, если вдруг что-то не так.
Формула условной вероятности для двух событий:
$P(A \mid B) = \frac {P(A\cap B)}{P(B)}$
соответственно
$P(B \mid A) = \frac {P(B\cap A)}{P(A)}$
Для совместных событий $P(A\cap B)>0$, при условиях $P(A)>0$ и $P(B)>0$,
отношение величин в левых частях двух равенств равно отношению величин в правых частях, получаем пропорцию:
$\frac{P(A \mid B)}{P(B \mid A)} = \frac{P(A\cap B) \cdot P(A)}{P(B\cap A) \cdot P(B)}$
Поскольку $P(A\cap B)= P(B\cap A)$, их можно сократить, получаем:
$\frac{P(A \mid B)}{P(B \mid A)} = \frac{P(A)}{P(B)}$
Отношение условных вероятностей равно отношению вероятностей безусловных, пропорции сохраняются для любой пары совместных событий, как зависимых, так и независимых.
Это есть ответ на первый мой вопрос.
Действительно, по определению независимого события $P(A \mid B) = P(A)$ и для сохранения пропорции необходимо и выполнение равенства $P(B\mid A) = P(B)$
Для зависимых событий, когда условие $P(A \mid B) = P(A)$ не выполняется, введем некоторый коэффициент $\lambda$ такой, что $P(A \mid B) = \lambda \cdot P(A)$
Для того, чтобы выполнялась пропорция отношения вероятностей, необходимо, чтобы для
$P(A \mid B) = \lambda \cdot P(A)$ было также верно и $P(B \mid A) = \lambda \cdot P(B)$.
Это ответ на мой второй вопрос:если события зависимые, и $P(A|B)<P(A)$, то и $P(B|A)<P(B)$ , а не наоборот. А на третий мой вопрос ответ отрицательный. То есть отрицательный в отношении условных вероятностей, поскольку аналог неравенства Коши-Буняковского в теории вероятностей есть, но он касается дисперсий и мат.ожиданий.

[Лукомор]

Попутно, еще вопрос о зависимых и независимых событиях.
Известно, что попарно зависимые события могут быть независимыми в совокупности.
То-есть:
$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
$P(A\cap C)=P(A)\cdot P(C)$
$P(B\cap C)=P(B)\cdot P(C)$ ,
но:
$P(A\cap B\cap C)\ne P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$.

А можно ли сказать, что события, независимые в совокупности, будут попарно зависимы, если:
$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$,
но:
$P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)$
$P(A\cap C)\ne P(A)\cdot P(C)$
$P(B\cap C)\ne P(B)\cdot P(C)$ ?

[--mS--]

Лукомор в сообщении #1019339 писал(а):

А можно ли сказать, что события, независимые в совокупности, будут попарно зависимы, если:
$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$,
но:

Вы неправильно понимаете независимость в совокупности. Она не первое равенство, но все четыре.

[Лукомор]

--mS-- в сообщении #1019515 писал(а):

Вы неправильно понимаете независимость в совокупности. Она не первое равенство, но все четыре.

Вы правы, спасибо!
Именно все четыре...
Просто я был уверен, почему-то, что подобное:

Лукомор в сообщении #1019339 писал(а):

$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$,
но:
$P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)$
$P(A\cap C)\ne P(A)\cdot P(C)$
$P(B\cap C)\ne P(B)\cdot P(C)$

- невозможно в принципе.
И вдруг нашел простой пример, когда попарно события зависимы, но для трех событий в совокупности равенство выполняется.
Меня это удивило... Нигде в литературе я не встречал упоминания о подобном казусе.

[--mS--]

Именно потому и все четыре, что любое из них может выполняться без остальных. Возможность выполнения первого без остальных трёх очевидна, в литературе обычно обсуждается менее очевидная возможность выполнения последних трёх без первого типа примера Бернштейна.