Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации

[Sonic86]

missa1 в сообщении #1019291 писал(а):

я не понимаю, почему импликация вообще является операцией. Я понимаю, что сложение - операция над двумя числами и что "и" и "или" - операции над высказываниями, но как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

Возможно, что у Вас в голове сильно ассоциированны $A\to B$ и $A\vdash B$: 1-е операция, 2-е - нет, однако есть связь.

Здесь уже было несколько таких тем, поищите.

[Xaositect]

Тут дело в том, что в естественном языке у связки "следовательно" есть немного различные смыслы, и они по разному отражаются и не отражаются в формальной логике. Давайте я попробую немного рассказать основные понятия следования в классической логике. Есть еще разные строгие импликации в разных модальных и других нестандартных логиках, я их не касаюсь.

В логике надо различать уровень синтаксиса (теория доказательств) и уровень семантики (теория моделей). На каждом из этих уровней есть свое понятие следствия, которое можно определить для любой системы формального вывода и любого определения интерпретации соответственно:
1. (Дедуктивное следствие). Формула $B$ следует из формул $A_1,\dots,A_n$, если существует формальный вывод формулы $B$ из формул $A_1,\dots,A_n$ в рассматриваемой формальной системе. Обозначение $A_1,\dots,A_n\vdash B$
2. (Логическое следствие) Формула $B$ следует из формул $A_1,\dots,A_n$, если в любой интерпретации $\mathcal{I}$, в которой истинны $A_1,\dots,A_n$, формула $B$ также будет истинной. Обозначение $A_1,\dots,A_n \vDash B$
Собственно, логика во многом изучает то, как эти понятия связаны с друг другом. Теоремы о корректности полноте утверждают, что для некоторой формальной системы и некоторого семейства интерпретаций они совпадают. Эти понятия, на мой взгляд, ближе соответствуют "следовательно" естественного языка, чем импликация, к которой мы сейчас перейдем.

Также в логике надо различать уровень теории и уровень метатеории. Оба понятия следствия из предыдущего абзаца относятся к метатеории - они говорят о формулах теории, но они не являются сами объектами теории. Импликация является именно тем, что выражает следствие внутри теории, так что для двух формул $A$ и $B$ импликация $A\to B$ есть формула, а не какой-то внешнее по отношению к теории суждение. Пусть мы рассматриваем дедуктивное следствие и хотим, чтобы импликация отражала его внутри теории. То есть мы хотим, чтобы $A\to B$ было теоремой тогда и только тогда, когда $A\vdash B$. Это "тогда и только тогда" раскладывается на два утверждения (метатеории). Во-первых, надо, чтобы из $A$ всегда выводилось $B$ в присутствии $A\to B$ (правило Modus Ponens). Во-вторых, надо, чтобы из любого вывода $B$ из $A$ мы могли получить вывод теоремы $A\to B$ (это называется теоремой о дедукции в формальных система гильбертова типа и правилом введения импликации в генценовских).

Теперь про таблицу истинности и собственно тему вопроса. Рассмотрим классическую интерпретацию, в которой формулы - это утверждения, которые могут быть истинными либо ложными. Мы хотим, чтобы интерпретация $A\to B$ отражала логическое следствие. Это значит, что она должна зависеть только от интерпретаций $A$ и $B$. В каждой интерпретации $A$ и $B$ могут быть истинными и ложными. При этом логическое $A\vDash B$ не выполняется тогда и только тогда, когда существует интерпретация, где $A$ истинно и $B$ ложно. В этом случае мы и должны положить $A\to B$ ложным. Остальные три случая могут встречаться в ситуации, когда $A\vDash B$, поэтому в этих случаях $A\to B$ истинно.

[Kras]

(Xaositect)

Я буду благодарен, если вы порекомендуете хорошие учебники, где можно прочесть об этом.

[Xaositect]

Kras в сообщении #1019471 писал(а):

Я буду благодарен, если вы порекомендуете хорошие учебники, где можно прочесть об этом.

Конкретно об этом - к сожалению, не знаю. В том смысле, что это, конечно, в учебниках есть, но чтобы какой-то из учебников ставил на этом акцент - я не знаю. Я сам до этого дошел значительно позже того, как учебники прочитал, и потом увидел эту же вещь в категорной логике, но там я не ориентируюсь в литературе, я читал только разные lecture notes. Вот тут про это написано: http://ncatlab.org/nlab/show/implication

[Kras]

(Xaositect)

А вообще что такое метатеория?

[Xaositect]

Kras в сообщении #1019497 писал(а):

А вообще что такое метатеория?

Математическая логика (метаматематика) - это математика, которая изучает (формализованные) математические теории. То есть, у нас есть теория, которую изучают и теория, с помощью которой изучают. Вот второе - это метатеория.

А если Вам книги с самого начала, то я где-то писал учебники.
Верещагин, Шень "Языки и исчисления" - совсем введение. Там, судя по указателю, слово "метатеория", правда, не употребляется.

Колмогоров, Драгалин "Введение в математическую логику"
Cori, Lascar "Mathematical logic with exercises"

Mendelson "Introduction to mathematical logic"
Kunen "The foundations of mathematics"
Manin "A course of mathematical logic for mathematicians"