Гомоморфизм у Шмидта

[Sinoid]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, преодолеть очередной заскок, возникший у меня при чтении Абстрактной теории групп Шмидта. Вот тот отрывок:

Почему я не могу написать, что элементу $G^{-1}E=G^{-1}$ соответствует элемент $K'Y'=G'^{-1}I'Y'=G'^{-1}X'$, где $X'$- произвольный элемент группы $\mathcal{J}$ и тогда все последующее рассуждение теряет силу. Или я что-то недопонял в гомоморфизмах или что?

(Оффтоп)

У нас сейчас грозы, я могу на время потеряться, так что, пожалуйста, периодически просматривайте эту тему, не появился ли я. Очень хочется разобраться.

[olenellus]

Что такое $Y'$ и откуда оно взялось? И почему $X'$ получается произвольным?

$G^{-1}E = G^{-1}$ соответствует $K'I' = K'$ а $K' = G'^{-1}I'$.

[Sinoid]

olenellus в сообщении #1019257 писал(а):

Что такое $Y'$ и откуда оно взялось?

Оно соответствует $E$, произвольный элемент $\mathcal{J'}$ $, потому и $X'$- произвольный элемент группы $\mathcal{J'}$. Я вот тут

Sinoid в сообщении #1019149 писал(а):

$X'$- произвольный элемент группы $\mathcal{J}$

косяк написал: надо было $\mathcal{J'}$

[olenellus]

Кажется, я и сам не совсем понял, что там происходит. Не затруднит ли Вас привести определение того, что "группы гомоморфны", из этого учебника? А ещё важнее, того, что значит, что "элемент $a$ соответствует элементу $b$". Такое ощущение, что последняя фраза меняет смысл по ходу изложения.

[Sinoid]

olenellus в сообщении #1019388 писал(а):

Кажется, я и сам не совсем понял, что там происходит. Не затруднит ли Вас привести определение того, что "группы гомоморфны", из этого учебника?

Определение гомоморфизма-то классическое, вот оно:


Но, честно говоря, первая же теорема, следующая после этого определения:
,
выглядит не совсем обычно: в нее гомоморфные группы входят симметрично.

[olenellus]

Насколько я понял, имеется в виду следующая ситуация. Шмидт называет групы $\frak{G}$ и $\frak{G}'$ гомоморфными, если существует пара сюрьективных гомоморфизмов (в обычном понимании) $\phi \colon \frak{G} \to \frak{G}'$ и $\psi \colon \frak{G}' \to \frak{G}$. Тогда то, что Шмидт понимает под "элемент $X'\in\frak{G}'$ соответствует элементу $X\in\frak{G}$ " то, что $\psi(X') = X$. И наоборот, под "элемент $X\in\frak{G}$ соответствует элементу $X'\in\frak{G}'$ " он понимает то, что $\phi(X) = X'$. Так я сначала и предполагал. Но там есть подвох, подвох в русском языке. Если я скажу "$X$ соответствует $Y'$ ", то это может означать как "иксу соответствует игрек", т. е. $\psi(Y') = X$, так и "икс соответствует игреку", т. е. $\phi(X) = Y'$. В начале параграфа 40 Шмидт имеет в виду первый случае. Однако с красной строки на следующей странице он имеет в виду второй случай. Будьте внимательны

Sinoid в сообщении #1019149 писал(а):

Почему я не могу написать, что элементу $G^{-1}E=G^{-1}$ соответствует элемент $K'Y'=G'^{-1}I'Y'=G'^{-1}X'$, где $X'$- произвольный элемент группы $\mathcal{J}'$

Ну почему же, Вы можете это написать.

Sinoid в сообщении #1019149 писал(а):

и тогда все последующее рассуждение теряет силу.

А это необязательно. Смотрите, напишем по-Вашему $K'Y' = G'^{-1}X'$. Чему это соответствует? Очень просто, $\psi(K'Y') = \psi(G'^{-1}X')$ или $G^{-1}E = \psi(G'^{-1})E$, или $\psi(G'^{-1}) = G^{-1}$, что и требовалось.

Теперь про нормальность. То, что Шмидт пишет c красной строки на следующей странице, означает, внимание! $\phi(G^{-1}IG) = G'^{-1}E'G' = E'$. Ну а дальше всё понятно.

Шмидт как-то немного пренебрёг чёткостью изложения.

Кстати, это действительно тот самый Шмидт?

[mihailm]

Известный полярник, но не отец Бендера)

[Sinoid]

Давайте я распишу как понял (для закрепления), а вы, пожалуйста, проверьте, правильно-неправильно я все понял. Итак, в начале дается ответ на такой вопрос: если $\psi(G')=G$, то в какой единственный элемент переходит при гомоморфизме $\psi$ элемент $G'^{-1}$? Для ответа на этот вопрос автор находит все элементы группы $\mathcal{J}'$, которые переходят в элемент $G^{-1}$. Итак, если $\psi(X')=G^{-1}$, то $\psi(G')\cdot\psi(X')=G\cdot G^{-1}$, $\psi(G'X')=E$, $G'X'=I'$, где $I'\in\mathcal{J}'$. Т.к. $\mathcal{J}'$-группа, то $I'$ может равняться $E'$, а $X'$ может равняться $G'^{-1}$. Итак, один из элементов, переходящих при гомоморфизме $\psi$ в элемент $G^{-1}$, есть $G'^{-1}$, а потому и $\psi(G'^{-1})=G^{-1}$.

(Оффтоп)

И для полноты картины я решу эту задачу по-другому. Пусть, как и выше, $\psi(G')=G$, $\psi(X')=G^{-1}$, далее, $\psi(X'G')=G^{-1}G$, откуда $X'G'=N'$, где $N'$-произвольный элемент группы $\mathcal{J}'$, а значит, могущий принимать значение $E'$. Но тогда $X'$ может принимать значение $G'^{-1}$. Итак, получили, что один из элементов, переходящих при $\psi$ в $G^{-1}$, есть $G'^{-1}$. И, т.к. $G'^{-1}$ при гомоморфизме $\psi$ переходит в единственный элемент, то $\psi{G'^{-1}}=G^{-1}$

А в конце доказательства, как заметил olenellus, т.к. рассуждения, верные для гомоморфизма $\psi$, верны и для $\phi$, автор те же рассуждения проводит симметрично (вот и симметрия в рассуждениях нашлась!). Ну по-хорошему, автор получает, что $G^{-1}\mathcal{J}G\subset\mathcal{J}$, а уже затем, потому что разным элементам $Z$ соответствуют разные элементы $G^{-1}ZG$, он и делает вывод, что $G^{-1}\mathcal{J}G=\mathcal{J}$. Скажите, пожалуйста, я все верно понял?

-- 26.05.2015, 23:05 --

olenellus в сообщении #1019577 писал(а):

Кстати, это действительно тот самый Шмидт?

Тот самый, Отто Юльевич.

[olenellus]

Sinoid в сообщении #1020144 писал(а):

то в какой единственный элемент переходит при гомоморфизме

Очень важный момент на будущее. В математике функция (отображение), действующая из одного множества в другое, всегда определяется так, что любой элемент первого множетсва переходит в единственный элемент второго. Всегда. Вы можете возразить, вспомнив многозначные функции из ТФКП. Но если разобраться, на каких множествах они, на самом деле, заданы, то выяснится, что это завуалированные обычные "однозначные" функции.

Sinoid в сообщении #1020144 писал(а):

Давайте я распишу как понял (для закрепления), а вы, пожалуйста, проверьте

Тут всё, в целом, правильно, кроме вот этого

Sinoid в сообщении #1020144 писал(а):

Для ответа на этот вопрос автор находит все элементы группы $\mathcal{J}'$, которые переходят в элемент $G^{-1}$.

Но это, как я понял, просто описка. Хотя, конечно, по степени ясности изложения Вы можете посоперничать со Шмидтом

Sinoid в сообщении #1020144 писал(а):

Ну по-хорошему, автор получает, что $G^{-1}\mathcal{J}G\subset\mathcal{J}$, а уже затем, потому что разным элементам $Z$ соответствуют разные элементы $G^{-1}ZG$, он и делает вывод, что $G^{-1}\mathcal{J}G=\mathcal{J}$.

Тут надо немного аккуратнее. После того, как мы выяснили, что $G^{-1}\mathcal{J}G\subset\mathcal{J}$, заметим, что не может существовать такого $Y \in \mathcal{J}$, который не представим в виде $G^{-1}IG$ для какого-нибудь $I \in \mathcal{J}$. Действительно, в качестве такого $I$ всегда можно взять $GYG^{-1}$, так как $\phi(GYG^{-1}) = G'E'G'^{-1}=E'$.

-- Ср май 27, 2015 10:49:04 --

Sinoid в сообщении #1020144 писал(а):

Тот самый, Отто Юльевич.

Вот же Человечище!

[Sinoid]

olenellus в сообщении #1020317 писал(а):

Тут всё, в целом, правильно, кроме вот этогоSinoid в сообщении #1020144

писал(а):
Для ответа на этот вопрос автор находит все элементы группы $\mathcal{J}'$, которые переходят в элемент $G^{-1}$. Но это, как я понял, просто описка.

Видимо, я что-то еще недопонял, я именно это и хотел написать. Разъясните, пожалуйста

(Оффтоп)

Вот видите, как нужно писать все нюансы восприятия, понял, да не так.

olenellus в сообщении #1020317 писал(а):

Sinoid в сообщении #1020144

писал(а):
Ну по-хорошему, автор получает, что $G^{-1}\mathcal{J}G\subset\mathcal{J}$, а уже затем, потому что разным элементам $Z$ соответствуют разные элементы $G^{-1}ZG$, он и делает вывод, что $G^{-1}\mathcal{J}G=\mathcal{J}$. Тут надо немного аккуратнее

Когда я это писал, я чувствовал, что это не совсем то, просто в голове еще не полностью уложилось.

olenellus в сообщении #1020317 писал(а):

Хотя, конечно, по степени ясности изложения Вы можете посоперничать со Шмидтом

А что плохого, скажем, в школьных учебниках, в которых стремятся все объяснять на пальцах? Почему бы и учебники для ВуЗов такими не писать? Просто, если так делать, будет меньше людей, говорящих, что математика- это темный лес. Лично я люблю, когда мне ясно доказательство вплоть до запятой.

-- 27.05.2015, 15:03 --

(Оффтоп)

Ребята-модераторы, подскажите, пожалуйста, что у меня случилось? Почему те сообщения, которые я пишу, не сразу добавляются в "ваши сообщения"?

-- 27.05.2015, 15:07 --

(Оффтоп)

Вот эта тема появилась только сейчас.

[olenellus]

Sinoid в сообщении #1020331 писал(а):

Видимо, я что-то еще недопонял, я именно это и хотел написать. Разъясните, пожалуйста

По определению, группу $\mathcal{J}'$ составляют все те элементы группы $\frak{G}'$, которые отображаются в $E \in \frak{G}$. Поэтому никакой элемент из $\mathcal{J}'$ не может отобразиться в $G^{-1}$, если только $G^{-1}$ ни равно $E$. (Вообще, Шмидт в книге использует букву $\Im$, а не $\mathcal{J}$, но да ладно.)

Sinoid в сообщении #1020331 писал(а):

А что плохого, скажем, в школьных учебниках, в которых стремятся все объяснять на пальцах?

Я хотел мягко написать, что ни у Шмидта, ни у Вас рассуждения не слишком ясны, на мой взгляд.

[Sinoid]

Да, действительно, вот тут

Цитата:

olenellus в сообщении #1020317 писал(а):

Sinoid в сообщении #1020144

писал(а):
Для ответа на этот вопрос автор находит все элементы группы $\mathcal{J}'$, которые переходят в элемент $G^{-1}$.

Но это, как я понял, просто описка

вы правы. Но это требование и не нужно: при проверке того, является ли подгруппа $H$ группы $G$ ее нормальным делителем, проверяется выполнение равенства $x^{-1}Hx=H$ для всех $x$ группы $G$.

[Sinoid]

Спасибо за помощь.