уравнение Лапласа в кольце

[Antichny]

Здравствуйте, помогите разобраться с краевой задачей для уравнения Лапласа в кольце. У меня не совпадают ответы.

$\Delta U=0;\quad a<r<b\quad0<\phi<2\pi $
$U_r(a,\phi)=sin\phi;\quad U_r(b,\phi)=cos\phi;$

$U(r,\phi)=A_0+B_0\ln(r)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lfloor(A_n r^n+B_nr^{-n})\cos(n\phi)+(C_nr^n+D_nr^{-n})\sin(n\phi)\right\rfloor$
$U_r(r,\phi)=\frac{B_0}{r}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lfloor(nA_nr^{n-1}-nB_nr^{-n-1})\cos(n\phi)+(nC_nr^{n-1}-nD_nr^{-n-1})\sin(n\phi)\right\rfloor$
$U_r(a,\phi)=\sin(\phi)=\frac{B_0}{a}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lfloor(nA_na^{n-1}-nB_na^{-n-1})\cos(n\phi)+(nC_na^{n-1}-nD_na^{-n-1})\sin(n\phi)\right\rfloor$
для $n=1$:$\quad$ $\frac{B_0}{a}=0 \qquad B_0=0; \qquad A_1a^0-B_1a^{-2}=0; \qquad C_1a^0-D_1a^{-2}=1; $
$U_r(b,\phi)=\cos(\phi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lfloor(nA_nb^{n-1}-nB_nb^{-n-1})\cos(n\phi)+(nC_nb^{n-1}-nD_nb^{-n-1})\sin(n\phi)\right\rfloor$
для $n=1$: \qquad A_1b^0-B_1b^{-2}=1; \qquad C_1b^0-D_1b^{-2}=0; $
Решив системы уравнений нахожу $A_1,B_1,C_1,D_1$ и далее подставляю в $U(r,\phi)$

$A_1=\frac{b^2}{b^2-a^2}\quad B_1=\frac{a^2b^2}{b^2-a^2}\quad C_1=\frac{-a^2}{b^2-a^2}\quad D_1=\frac{-a^2b^2}{b^2-a^2}$$

$U(r,\phi)=\left\lfloor \frac{b^2r}{b^2-a^2}+\frac{a^2b^2}{b^2-a^2}\frac{1}{r} \right\rfloor \cos\phi+ \left\lfloor \frac{-a^2r}{b^2-a^2}+\frac{-a^2b^2}{b^2-a^2}\frac{1}{r} \right\rfloor \sin\phi $

[svv]

Ваш ответ удовлетворяет всем условиям. Чем отличается «правильный» ответ?

[Antichny]

в задачнике совсем другой ответ: $U(r,\phi)=\frac{r^2+a^2}{b^2-a^2}\frac{b^2}{r}\cos\phi+\frac{r^2+b^2}{a^2-b^2}\frac{a^2}{r}\sin\phi$

-- 23.05.2015, 18:00 --

ой, они одинаковые, оказывается..

[svv]

Кстати, Вам там лучше поставить круглые или квадратные скобки, потому что за $\lfloor x \rfloor$ закреплён смысл «наибольшее целое, не превосходящее $x$», в программировании это floor(x), округление вниз, пол.

[Antichny]

понял, спасибо!

[svv]

Аналогично $\lceil x \rceil$, в программировании ceil(x), округление вверх, или потолок.
Очень наглядные и полезные обозначения.

[Red_Herring]

Вообще поскольку это "чистый" Нейман для Лапласа, то 1) для разрешимости необходимо выполнение условия ортогональности (в данном случае выполнено) и 2) решение определено с точностью до константы (у Вас потеряна)