Разделение переменных, замена переменных.

[champion12]

В уравнении $\dfrac{\partial\Phi}{\partial t}=\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}$

выполнить указанную замену переменных. После этого выяснить -- допускает ли уравнение разделение переменных, то есть выяснить существуют ли решения уравнения в виде $\Phi(u,v,w)=U(u)V(v)W(w)$.
В случае положительного ответа написать ОДУ, которым удовлетворяют функции $U(u),V(v),W(w)$. В противном случае, выяснить, допускает ли уравнение $R$-разделение, то есть существуют ли решения в виде
$\Phi(u,v,w)=U(u)V(v)W(w)e^{R(u,v,w)}$, где $R(u,v,w)$ -- заданная функция. Если $R$-разделение существует, то выписать ОДУ, которым удовлетворяют $U(u),V(v),W(w)$

К задаче прилагается: ОПераторы и координаты, допускающие $R$-разделение переменных для уравненения $(\partial_t-\partial_{xx}-\partial_{yy})\Phi=0$

Операторы $H,S$

$Fc^2$

$H_{-2},P_1^2$

$x=u,y=v$, множитель $e^R=0$

С чего начать примерно?

Очень хочу разобраться в этой задаче. Хотелось бы узнать -- где про это максимально доступно написано?
Что значат эти обозначения?

$Fc^2$

$H_{-2},P_1^2$

Я так понимаю, что после замены уравнение примет вид:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial t}=\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}+\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}$

Если предположить, что $\Phi(u,v,w)=U(u)V(v)$, то $\dfrac{\partial\Phi}{\partial t}=0$.

Тогда уравнение примет вид $0=V(v)\dfrac{\partial^2U(u)}{\partial u^2}+U(u)\dfrac{\partial^2V(v)}{\partial v^2}$

Верно? А как дальше?

[Brukvalub]

champion12 в сообщении #1018540 писал(а):

Если предположить, что $\Phi(u,v,w)=U(u)V(v)$, то $\dfrac{\partial\Phi}{\partial t}=0$.

Разве вам где-нибудь выше предлагали рассмотреть такой случай?

[champion12]

Действительно, не предлагали, но пока что у меня других идей по задаче нет, хотелось бы подсказку...

[Brukvalub]

champion12 в сообщении #1018540 писал(а):

Я так понимаю, что после замены уравнение примет вид:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial t}=\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}+\dfrac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}$

Например, мне не видна в вашем тесте предложенная вам замена. Но, какова бы она не была, она не может быть столь бессмысленной, чтобы не менять вид уравнения.