Еще один функц. ряд

[kerz-3-06]

$$\sum\limits \frac {arctg(xn)} {x^2n+1}$$

Надо найти промежутки поточечной и равномерной сходимости. Мне кажется, что ряд сходится поточечно только при x=0.

[AD]

Странно, но мне тоже так кажется.

[kerz-3-06]

я пытался это обосновать по признаку сравнения. т
ак как наш ряд больше

$$\sum\limits \frac {-pi/2} {x^2n+1}$$

, который, на мой взгляд, всегда расходится при x<>0. но это решение засчитано не было

[AD]

Ну ясно, что не было засчитано. Ряд

$$\sum_{n=0}^\infty0$$

(который, кстати, получается при $x=0$) тоже больше вашего ряда

$$\sum_{n=0}^\infty\limits \frac {-\pi/2} {x^2n+1}$$

, но почему-то сходится.

Но насчет признака сравнения мысль правильная.

[kerz-3-06]

да, ясно. но в таком случае (пусть x для начала положительное ) нам надо ограничить arctg снизу чем-то положительным. так вот чем это можно сделать?! Ряд тейлора в данном случае вроде не помогает..

[Gordmit]

kerz-3-06 писал(а):

но в таком случае (пусть x для начала положительное ) нам надо ограничить arctg снизу чем-то положительным. так вот чем это можно сделать?!

Попробуйте, например, положительное число $\arctg x$.

[kerz-3-06]

хм, действительн.
тогда для положительных x наш ряд больше ряда

$$\sum\limits \frac {arctg(x)} {x^2n+1}$$

, который в свою очередь расходится для таких x.

а для отрицательных x признак сравнения уже не подходит..

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

а для отрицательных xпризнак сравнения уже не подходит..

Еще как подходит!

[Gordmit]

kerz-3-06 писал(а):

а для отрицательных x признак сравнения уже не подходит..

Почему? Потому что признак сравнения применяется только к знакоположительным рядам?

[kerz-3-06]

хм. а разве он применяется не только к знакоположительным рядам?!
мы можем, конечно, с помощью него доказать абсолютную сходимость, но разве нам это что-то даст?!

[Gordmit]

Попробуйте сформулировать признак сравнения для "знакоотрицательных" рядов

[kerz-3-06]

Видимо так: если ряд меньше расходящегося и отрицательного, то он расходится. это так?!

[AD]

kerz-3-06 писал(а):

а разве он применяется не только к знакоположительным рядам?!

По таким случаям у нас на лекциях по матану традиционно используется фраза "второй случай доказывается аналогично или сводится к первому умножением на минус единицу".

[kerz-3-06]

ясно, спасибо

[Echo-Off]

AD писал(а):

По таким случаям у нас на лекциях по матану традиционно используется фраза "второй случай доказывается аналогично или сводится к первому умножением на минус единицу".

Тарас Палыч Лукашенко?