Фейнмановский интеграл

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич, раз у мне так повезло, что я столкнулся с таким великим специалистом по интегралом, то помогите разобраться с некоторыми вопросами. Если это Вас, конечно, не затруднит. У меня на самом деле много вопросов. Но давайте начнем вот с этого.
Как в интеграле ввести граничные условия в виде 2-х бесконечно высоких стенок?
Как на уровне первичного, так и на уровне вторичного квантования.
Т.е. отталкиваясь от интеграла, а не пропогатора. Можно ли так делать?

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич, раз у мне так повезло, что я столкнулся с таким великим специалистом по интегралом, то помогите разобраться с некоторыми вопросами. Если это Вас, конечно, не затруднит. У меня на самом деле много вопросов. Но давайте начнем вот с этого.
Как в интеграле ввести граничные условия в виде 2-х бесконечно высоких стенок?
Как на уровне первичного, так и на уровне вторичного квантования.
Т.е. отталкиваясь от интеграла, а не пропогатора. Можно ли так делать?

Вообще под "граничным" условием в Фейнмановском "интеграле" (будем его так
называть как в физике) общепринято понимать, то что интегрирование проводится
по некоторому функциональному пространству или некоторому множеству функций
все элементы которого удовлетворяют заданным граничным условиям. Это легко
учесть домножив "фейнмановскую" меру на соответствующую дельта функцию. Это
хорошо известный прием. У Попова в книжке все это есть. Однако я не знаю, что
озачают Ваши стенки. Если это потенциал такой, то просто учитывайте его сразу
в динамических уравнениях, например если это Шредингер то там и учитывайте.
Вообще много от конкретной задачи зависит. Принципиальных ограничений нет,
но реальное исполнение может быть очень сложным. Например если Вам нужно
исследовать квантовый хаос или например флуктуации какие то там у меня все
накатано. А если что другое то нужно смотреть. Фейнмановские интегралы имеют
важные приложения в теории СДУ. С их помощью строятся специальные методы
сверхбыстрого интегрирования таких уравнений. Потом это все применяется в разных
секретных системах. Поэтому народу эти методы мало известны. А физики считают это
дело на решетке, ну как Архимеды 21-го века.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Однако я не знаю, что озачают Ваши стенки. Если это потенциал такой, то просто учитывайте его сразу в динамических уравнениях, например если это Шредингер то там и учитывайте.
Вообще много от конкретной задачи зависит. Принципиальных ограничений нет,
но реальное исполнение может быть очень сложным. Например если Вам нужно
исследовать квантовый хаос или например флуктуации какие то там у меня все
накатано. А если что другое то нужно смотреть. Фейнмановские интегралы имеют
важные приложения в теории СДУ. С их помощью строятся специальные методы
сверхбыстрого интегрирования таких уравнений. Потом это все применяется в разных
секретных системах. Поэтому народу эти методы мало известны. А физики считают это
дело на решетке, ну как Архимеды 21-го века.

Да нет все намного прозаичней. Для начала я хочу понять. Квантование ур. Шредингера на отрезке с различными граничными условиями мне хорошо понятно. Я хочу отталкнуться от фейнмановкого интеграла. Даваите рассмотрим конкретный простой пример скаляроного массивного поля на $x \in R^{1,2} \times [0,1]$ без самодействия с граничными условиями Дирихле или Неймана. Ясно что пропагатор будет зависить от граничных условий - это очевидно. Но как теперь учесть эти граничные условия фейнмановском интеграле, не прибегая к диаграмной технике (ведь при обычном подходе все можно решить без теории возмущений)? Вы говорите, что при вычислении интеграла
$\int D\phi e^{\int_T^t L(\phi) d^4x}$ на функцию $\phi$
накладывается условие. Но если рассматривать меру как $\prod^{N^4}_{i=1}n(x)d\phi_i$, а действие как сумму $\sum_i^{N^4}L[\phi_i]$, то там нет никаких условий на вид $\phi(x,t)$. Или Вы имеете в виду, что нужно вставить в меру множитель $\delta(F(\phi,x,t))$? Тогда какой?

[Котофеич]

Ну если например условие φ(t,x=1)=C(t), то домножайте меру на
δ[φ(t,x=1)-C(t)]. В общем случае Вы правильно написали, F может быть что угодно,
может производные содержать. А обычный интеграл это простейший случай, там нет
этих условий. Если условие на границе такое : F(φ(t,x),x,t)|=0 при x=a. Тогда
домножаете на δ[F(φ(t,x=а),а,t)]. Потом если эффекты интерференции Вас не интересуют,
то лучше вместо Шреденгера писать фоккер-планка, там интегрировать немного
проще. Потом такое квантование для широкого класса потенциалов более общее.
Интеграл может существовать когда само уравнение Ш. вообще не имеет решения
в строгом математическом смысле. Да, а почему без самодействия Если без
него, то нет никаких преимуществ.

[Capella]

Котофеич
Извините, что я вмешиваюсь, но попробуйте использовать специальный тег для формул. Здесь на форуме, существует очень удобная запись формул - их можно программировать, чтобы потом было удобно читать. Если Вы не знает, как с ними работать, что Вы можете прочитать руководство или подсматривать у других участников.

[Котофеич]

Capella писал(а):

Котофеич
Извините, что я вмешиваюсь, но попробуйте использовать специальный тег для формул. Здесь на форуме, существует очень удобная запись формул - их можно программировать, чтобы потом было удобно читать. Если Вы не знает, как с ними работать, что Вы можете прочитать руководство или подсматривать у других участников.

Да спасибо. Я постараюсь учесть Ваше пожелание. А Вы что тоже любите эти
интегралы считать или просто интересуетесь

[Capella]

нет, такии интегралы я не то, чтобы очень люблю считать, хотя я тоже проходила квантовую механику, уравнение Шрёдингера и т.д., но я более тяготею к голой математике, чем к физике. Так-что вмешиваться в Ваш разговор я не буду.

[Котофеич]

Capella писал(а):

нет, такии интегралы я не то, чтобы очень люблю считать, хотя я тоже проходила квантовую механику, уравнение Шрёдингера и т.д., но я более тяготею к голой математике, чем к физике. Так-что вмешиваться в Ваш разговор я не буду.

Ну так это и есть голая математика. Квантовая механика это просто одно из
приложений.

[Capella]

Видите-ли, я ещё только учусь и название "Фейнманского интеграла" мне ещё не знакомо. Поэтому на данный момент оно не могло вызвать моего особого интереса. Извините уж, но придёться Вам всё-таки самому его решать. А я может посмотрю

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Да, а почему без самодействия Если без
него, то нет никаких преимуществ.

Да потому что в этом случае можно получить точное решение и сравнить ответ. А самодействие только через диаграммы.

[/math]

[Борис Лейкин]

А правда ли то, что для феймановских интегралов по траекториям не существует строгого
математического обоснования, и что, вообще, это означает?

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Да, а почему без самодействия Если без
него, то нет никаких преимуществ.

Да потому что в этом случае можно получить точное решение и сравнить ответ. А самодействие только через диаграммы.

[/math]

Ну в этом случае все давно сравнили еще при жизни изобретателя
этой "теории". Разумеется ответ совпадает. Я вам приведу кучу примеров,
когда это все работает в жутко нелинейном случае и ответ можно легко
проверить на персоналке. С помощью функционального интегрирования
получают замкнутые выражения для ОДУ и др. типов ДУ. Можно будет
легко проверить, что ответ верный. Потом есть всякие полупертурбативные
подходы эквивалентные суммированию бесконечных серий диаграмм в КЭД.
Там ответ совпадает с ответом полученным ранее, обычными методами суммирования.
Потом то что физики называют непертурбативными методам-инстантонная физика
на базе перевального подхода, так это совсем другое. Это чистейшая феноменология
и к серьезным непертурбативным подходам это отношение не имеет, там те же расходимости
что и в любой другой теории возмущений.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Ну в этом случае все давно сравнили еще при жизни изобретателя
этой "теории". Разумеется ответ совпадает. Я вам приведу кучу примеров,
когда это все работает в жутко нелинейном случае и ответ можно легко
проверить на персоналке. С помощью функционального интегрирования
получают замкнутые выражения для ОДУ и др. типов ДУ. Можно будет
легко проверить, что ответ верный.

Однако я с Вами не спорю.

Котофеич писал(а):

Потом есть всякие полупертурбативные
подходы эквивалентные суммированию бесконечных серий диаграмм в КЭД.

Вы имеете ввиду разложение по степеням $\hbar$?

[Аурелиано Буэндиа]

Борис Лейкин писал(а):

А правда ли то, что для феймановских интегралов по траекториям не существует строгого математического обоснования, и что, вообще, это означает?

Это вопрос скорее к математикам. По-видимому в рамках классического мат. анализа строгого обоснования действительно нет. По крайней мере мне это не известно.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):
Вы имеете ввиду разложение по степеням h ?
-------------------------------------------------------------
В полупертурбативных подходах вся область интегрирования в бесконечномерном
пространстве разбивается на две. По одной из них интеграл вычисляется точно, а по
другой пертурбативно. Так например можно быстро инфракрасные асимптотики вычислять.
Для КЭД это описано например у Попова (Континуальные интегралы в КТП и стат физике)
Да верно результат совпадет с результатом пересуммирования по h или другому, подходящему малому параметру.