Задача о выпуклой функции.

[Алексей К.]

Имеется синяя выпуклая функция $\tau(s)$, $0\le s\le L$. Мне надо её подменить красной, тоже выпуклой, "трижды кусочно-линейной" функцией $\lambda(s)$, значения и производные которой на концах совпадают с соотв. значениями $\tau(s)$ ---

$$\tau(0)=\lambda(0)=\alpha,\quad \tau(L)=\lambda(L)=\beta,\quad\tau'(0)=\lambda'(0)=k_1,\quad \tau'(L)=\lambda'(L)=k_2$$

.
Подменить так, чтобы выполнялось

$$\begin{cases} \int\limits_0^L\cos\lambda(s)ds=\int\limits_0^L\cos\tau(s)ds\\ \int\limits_0^L\sin\lambda(s)ds=\int\limits_0^L\sin\tau(s)ds, \end{cases} $$

что есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases} X(u,v)=X_0,\\ Y(u,v)=Y_0. \end{cases} $$

Собственно, надо доказать существование решения. Любопытен вопрос о единственности.
"Формульное обеспечение" для $X,Y(u,v)$ и производных могу вколотить (и вколочу по требованию), пока рассчитываю на подсказки-подходы.
На что-нибудь, что мне не приходит в голову.

Спасибо.

(Упрощённый случай, когда тау и лямбду можно загнать в $(-\pi,\pi)$ тоже сгодится... Цвет функций безразличен. Без огр. общн. --- $\alpha=0$, но это мелочь.)

[zoo]

Система двух нелинейных уравнений. Подсказки подходы, Вы наверняка и сами знаете, метод Ньютона, метод последовательных приюлижений, Степень отображения. Я бы попробовал нарисовать кривые $X(u,v)=X_0$ $Y(u,v)=Y_0$ на плоскости (u,v). Это должно быть не сложно, функции X,Y -- это какие-то элементарные функции явно заданные. Думаю, что на качественном уровне все будет понятно. После этого можно численный метод запустить

[Алексей К.]

Численно --- не проблема, сто раз порёшано, торможу с формальным доказательством.

zoo писал(а):

Подсказки подходы, Вы наверняка и сами знаете

Я на самом деле не профессионал в математике, как могло случайно показаться. Вот и про степень отборажения из Вашего списка не знаю (из какой это главы? почитаю-узнаю). Как показала моя предыдущая проблемка, ежели зашёл в тупик, по недообразованности ли, по усталости ли, --- надо написать на форум; даже если за тебя не решат, то подстегнут.
Действительно, почему до сих пор в $(u,v)$ не нарисовал?
Однопараметрическое семейство средних звеньев ломаной, удовл. первому уравнению...
Однопараметрическое семейство средних звеньев ломаной, удовл. второму уравнению...
И в их пересечении --- бац!

А в тамошних элементарных выражениях всё время штуки типа $\frac{\sin x}{x}$ мешают явно получить обратные выражения...

[zoo]

степень отображения -- Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу. Думаю тут это не пригодится.
А уравнение в предыдущей Вашей теме это вещь для качественного исследования благодарная.

[Алексей К.]

Ну, как-то доказалось, наконец...

Утверждение начального поста можно изложить так.
Плоскую кривую длины $L$ с кривизной, монотонно изменяющейся от значения $k(0)=k_1$ до $k(L)=k_2$, можно заменить кривой, составленной из трёх гладко сoпряжённых круговых дуг с кривизнами $k_1,k_0,k_2$, и имеющей ту же длину, те же граничные точки и касательные в них.

Рис. 1:

На Рис. 1 в левой колонке вверху показан график функции $k=k(s)$, $0\le s\le L$. Это натуральное уравнение некой плоской кривой длины $L$ с кривизной, монотонно возрастающей от $k(0)=k_1$ до $k(L)=k_2$. Чисто для понта добавлена лёгкая волнистость.

Под ним прорисован график функции $\tau(s)$, описывающей угол наклона касательной к кривой:

$$ \tau(s)=\tau_0+\int_{0}^{s}{k(t)}\,{dt}. \eqno(1) $$

Монотонность $k(s)$ влечёт выпуклость графика $\tau(s)$. Наклоны граничных касательных к графику равны $k_1$ и $k_2$.

Eщё ниже прорисована сама кривая $[x(s),y(s)]$:

$$ x(s)=x_0+\int_{0}^{s}{\cos\tau(t)}\,{dt},\quad y(s)=y_0+\int_{0}^{s}{\sin\tau(t)}\,{dt}. \eqno(2) $$

Кривая выпущена из начала координат $(x_0,y_0)=(0,0)$, касательная в начальной точке направлена вдоль оси абсцисс ($\tau_0=0$).

В правой колонке исходная функция $k(s)$ подменена кусочно-постоянной функцией $\bar{k}(s)$, также монотонной. Положение и кривизна $k_0$ промежуточного участка вычислены так, чтобы обеспечить те же граничные условия (координаты и наклоны касательных), что и у исходной кривой. График $\bar{\tau}(s)$ (бывшая $\lambda(s)$) становится при этом кусочно-линейным (и по-прежнему выпуклым), а сама кривая --- "кусочно-окружностной". Различия между оригиналом и его окружностной аппроксимацией слабо заметны: точечки, которыми представлена оригинальная кривая, лишь слегка отклонены от круговых дуг.

Рис. 2:
На Рис. 2 приведены ещё пять примеров фунций $k(s)$, монотонно возрастающих от $k_1$ до $k_2$, и их 3-ступенчатые аналоги. Им соответствуют 5 кривых во второй колонке.

У любого скучающего человека естественно возникает вопрос: а как локализованы конечные точки этих кривых?
Возможность подмены всего $\infty$-мерного пространства таких кривых трёхпараметрическим семейством тридуг позволяет скучающему человеку отмоделировать множество концевых точек тремя вложенными циклами: если $k_1,l_1$ --- кривизна и длина первой дуги, $k_0,l_0$ --- кривизна и длина промежуточной дуги, $k_2,l_2$ --- третьей, то параметрами семейства (и переменными циклов) служат $l_1$, $k_0$ и $l_2$ с ограничениями

$$ l_1>0,\quad l_2>0,\quad l_1+l_2\le L,\quad(l_0=L-l_1-l_2\ge0), \quad k_1<k_0<k_2.\eqno(3) $$

Любая современная ЭВМ способна быстренько выполнить три вложенных цикла с разумным шагом по каждой
из переменных. Справа эти пять кривых нарисованы вместе, а серые точки показывают результат моделирования,
т.е. концы тысяч других кривых этого семейства. Границы этого множества, кривые $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, угадываются лёгким напряжением мозга.

Если кривые $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ продлить за естественные границы изменения параметра, то получится Вау!, показанное на Рис. 3:

Рис. 3:

[Алексей К.]

Ну ладно, пусть это не особо интересно, но признаки замкнутости вроде как людям всё же интересны...
Такие, чтобы обойтись без вычисления координат конечной точки кривой.
Напишу всё же и о моделировании замкнутости. Для кривых типа овала. С четырьмя вершинами.

Ежели для кривых с монотонной кривизной понадобилось 3-параметрическое семейство тридуг, то для кривых с единственной вершиной понадобится 6-параметрическое семейство 5-дужных кривых. Фиксированные параметры такой кривой с натуральным уравнением $k(s)$, $0\le s\le s_1+s_2$ --- значения $k_1,k_2,k_3,s_1,s_2$, где $k_1=k(0)$ --- начальная кривизна, $k_2=k(s_1)$ --- экстремальная кривизна, $k_3=k(s_1+s_2)$ --- кривизна в конце.

На рисунке 4 --- пример овала $ABCDA$ и вариант его натурального уравнения.

Рис. 4:

Необходимое условие гладкой замкнутости при 4-х экстремумах кривизны в пределах периода $L$
($L=L_1+L_2+L_3+L_4$) --- равенство

$$ \rho_{12}+\rho_{34}=2\pi,\text{~~где~~}\rho_{12}=\int\limits_0^{L_1+L_2} \!\!k(s)\,ds,\quad\rho_{34}=\int\limits_{L_1+L_2}^L \!\!k(s)\,ds\,.$$

Зелёный прямоугольник на рисунке заключает возможные значения $\rho_{12},\rho_{34}$, связанные с "кусочной монотонностью",
типа $k_1L_1+k_3L_2<\rho_{12}< k_2(L_1+L_2)$.
Условие $\rho_{12}+\rho_{34} = 2\pi$ сужает эти оценки до синего квадрата.
А если помоделировать, то получается, что маленький красненький квадратик заключает те и только те значения $\rho_{12}$, при которых:

• замкнутость возможна;
• существует профиль $k(s)$ с данными параметрами $k_i,L_i$, дающий в итоге замкнутую кривую.

Мне осталось нарисовать, как это получается.

-- 19 май 2015, 19:55:51 --

Я буду ходить из точки $A$ овала в точку $C$ двумя путями.
Сначала по кривой $ABC$, с единственной вершиной в точке $B$ и с фиксированными значением $\rho_{12}$. Возьму для примеру $\rho_{12}=\pi$.

Получу жёлтое множество возможных точек $C$: $A_1B_1C_1D_1$ --- его угаданная граница. Ну и один экземплярчик из множества таких кривых прорисован на первом фрагменте рисунка.

Рис. 5:

Потом пойду по кривым $ADC$. Поскольку замкнутость требует для кривой $CDA$ поворота $\rho_{34} = 2\pi-\rho_{12}$, то для реверсированной кривой $ADC$ зафиксирую поворот $\rho_{12}-2\pi$ (у неё кривизна убывает от $-k_1$ в точке $A$ до $-k_4$ в точке $D$, потом возрастает до $-k_3$ в точке $C$).
Получаю серое множество возможных точек $C$: $A_2B_2C_2D_2$ --- его угаданная граница.

Множества пересекаются (Рис. 5, третий фрагмент). Точку $C$ можно выбрать, и кривульку замкнутую можно построить.

А возьму я, к примеру, $\rho_{12}=0.75\pi$ --- и не будет овала, т.к. не пересекаются множества:

Рис. 6:

[Алексей К.]

Ну и мультик в заключение --- как это всё меняется при изменении $\rho_{12}$, как они сближаются, соприкасаются, пересекаются, снова соприкасаются, расходятся:

Рис. 7: